Question

りゅう

（2）の（イ）で，なぜpが円上にあるのかわからないので教えてください

54
重要 例題 32 w=f(z) の表す図形 (3)
z+1
(1) 複素数平面上の点zが単位円周上を動くとき, w=-
ス2
wの描く図形を求めよ。
(2) z=1 である複素数zに対して, w=
単位円上1の円
上の虚軸上を動くとき、 次の問いに答えよ。
(ア) 点wの描く図形を求めよ。
(イ) |w+i+1|の最大値と最小値を求めよ。
(解答)
(1) w=-
(z-2) w=z+1
ゆえに
(w-1)z=2w+1
ここで, w=1 とすると, 0=3 となり不合理である｡
よって, w≠1 であるから
点2は単位円周上を動くから
2w+1
w-1
z+1
z-2
CHART O SOLUTION
w=f(z) の表す図形
zをwの式で表し、 の条件式に代入
(1) z=(式)をの条件式に代入する。
(2)(ア)「z虚軸上を動く｣
=0z+z=0
(zの実部)
(イ)|w+i+1|=|w-(-1-i) から, P(w), A (-1-i) とすると, これは,2点
A,P間の距離を表す。 Aは定点であるから, 点Pが(ア) の結果の図形上を動
くときの距離 APの最大値・最小値について,図をかいて考える。
から
① ① を代入すると
2=
・1
2w+1
w-1
²+1
+1 とする。点zが複素数平面
1²
|z|=1
で表される点
......
[(2) 類 静岡大]
基本 26,27
別解
「w=」の式を z = 」 の
式に変形する。
w-1=0 の可能性があ
るから、直ちに w-1で
割ってはいけない。
の条件式。

動
別解 (② までは同じ)
2/20+12=120-11から
-12-11 5
w=2= 1/2/2
z+1
1-z
A-1/21), B(1), P(w) とすると AP: BP=1:2
よって、点Pが描く図形は, 線分ABを1:2に内分する点
Cと外分する点Dを直径の両端とする円である。
C(0), D(-2)であるから,点wは点1を中心とする半径1の円を描く。
(1-z) w=z+1
(2) (ア) w=
2 + 1/ | |-1|-1:2
2
から
ゆえに
(w+1)z=w-1
ここで, w=-1 とすると, 0 = -2 となり不合理である。
よって, wキー1であるから 2=
点が虚軸上を動くとき
w-1
③ を代入すると
w+1
したがって
+
w-1
w+1
z+z=0
w-1
w+1
ゆえに
両辺に(+1) (w+1)を掛けて
=0
w-1 w=1=0
+
w+1 w+1
(w+1) (w-1)+(w+1)(w−1)=0
ww=1 すなわち |w|=1
(4)
整理して
したがって,点wは点を中心とする半径1の円を描く。
ただし, w≠-1であるから点1を除く。
(イ) P(ω), A(-1-i) とすると
YA
w+i+1=AP
円 ④の中心は、点O(0) であり,
図のように, 2点A, 0 を通る直
線と円 ④ の交点を Q, R とすると,
線分 AP の長さが最大となるのは
点Pが点Qと一致するときで,線
分 AP の長さが最小となるのは、点Pが点Rと一致すると
きである。
円 ④の半径は1であり, OA=|-1-il=√2 であるから
AQ=√2+1, AR=√2-1
P.
-1 R
A
最大値√2+1, 最小値√2-1
10
PRACTICE･･･ 32 ④
-1 と異なる複素数zに対し, 複素数wを w=²
z+1
Q
1x
2
◆ 「w=」 の式を「z=」 の
式に変形する。
fitl
◆この確認が、 後で意味を
もつ。
z = bi (b は実数) から
z+z=bi-bi=0
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←ww=|w|から
|w|²=1
除外点に注意。
で定める。
モが乾宿発の
◆直線AP が円によって
切り取られる線分が円
の直径となる場合がポ
イント。
複素数と図形

Answer 1

どんぐり

pをωとおいていて、ωは(ア)で単位円周上を動くと導出しているからではないでしょうか。

りゅう

この黄色線の式がなぜAPと置けるのか教えてほしいです

どんぐり

ベクトルで考えるのが分かりやすいと思います。|APベクトル|=|OPベクトル－OAベクトル|

りゅう

なるほど
ありがとうございました