Question

tkhsre

(3)の(解1)はなぜ連立して解いているのですか？

ty=1のx>0,y>0 の部分を C で表す. 曲線C上に点
P(x,y) をとり, 点Pでの接線と2直線y=1, および, x=2との交点
をそれぞれ, Q, R とする. 点 (2, 1) をAとし, AQRの面積をSとお
く.このとき、次の問いに答えよ.
(1)+2=k とおくとき, 積141 をkを用いて表せ。
(2) Skを用いて表せ。
(3) 点PがC上を動くとき, Sの最大値を求めよ.
(1) 点Pはだ円上にあるので, i' +4y²=4 (x>0,y>0) をみた
しています。
(2) AQRは直角三角形です.
(3) kのとりうる値の範囲の求め方がポイントになります。 解答は2つありま
すが、1つは演習問題1がヒントになっています。
解答
mi'+4y²=4
PATUS
= (x₁+2y₁)²—4x₁y₁=4
k²-4
4
(2) P(m1, yi) における接線の方程式は
+4yy=4
(4-4², 1). R(2, 4-20¹)
(1)
.. miy=-
よって,
AQ=2-- 4-4y1_2.c+4y-4
AR=1--
UPLONBUCEt
yk
S=1/12 AQAR = 1
O
Q
P
I1
X1
4-21_2.m+40-4+2%-2の方向
2y1
Ays
_(+2yı-2)2_2(k-2)2円
=
2x₁41
k²-4
(土)
x=2
Ay=1
JR
2 x
2(K-2)
k+2
(3) (解Ⅰ) (演習問題1の感覚で･･･)
[mi'+4y²=4......①
より,
y を消去して
[+2y=k ......2
π
4
判別式≧0 だから,
x₁²+(k-x₁)²=4
=2-
2²2-2k+k2-4=0
k²-2(k²-4)≥0 k²-8≤0
: -2√2 ≤k≤2√2
k
また、右図より 118
演習問題 2
8
k+2
ポイント
よって,
2<k≤2√2
んが最大のときSは最大だから, Sの最大値は6-4√2
=2cose
(解ⅡI) *₁²+y₁²=1 ky
(0<<) とおける.
TC 3π
y = sin0
.. k=x+2y₁=2(sin0+ cos 0) = 2√2 sin(0+7)
だ円
2<k
Y/A
.. 2<k≤2√2
が最大のときSは最大だから, Sの最大値は6-4√2
だから // <sin (6+4) 1
a²
+ = 1 上の点は
62=
x=acose,y=bsin0 とおける
だ円 +²=1と直線y=-1/2x+k(k:定数)は,異なる
x²
点P, Qで交わっている. このとき, 次の問いに答えよ.
(1) 定数んのとりうる値の範囲を求めよ.
(2) 線分PQの中点Mの軌跡の方程式を求めよ.

Answer 1

ブドウくん

(2)でSをkで表した結果、kが大きくなるほど2項目が0に近づいて、kが最大となるとき、Sも最大になることがわかりました。
じゃあ、kは際限なく大きくできるのかというとそんなことはありません。k=2x₁+y₁であって、x₁やy₁は楕円上の点(しかも第一象限のみ)なので、この条件を満たす範囲でしかkは変化できないからです。
つまり、この問題は
「x₁²/4 + y₁² =1を満たしながら、x₁とy₁が変化するとき、2x₁+y₁の最大値を求めよ」
という問題になります。これは、数1でも数2でも似た問題をやっているかと思いますが（写真）、連立して解いて出てきた2次方程式の判別式を考えることで接する条件が求められます。