Question

nana

解答が配られていないのですが、誰か解ける方はいらっしゃいますでしょうか。教えていただきたいです。

1 自然数nに対して,
解答欄
an=
n 1
解答欄
Σ
k=0
1 1
=1+ + +
1! 2!
+
とする.
(1) 任意の自然数nに対して, an <an+1 が成り立つことを示しなさい.
(2) n >2のとき, <2が成り立つことを示しなさい.
n!
1
n!

(3) n の値に関係なく, an <3が成り立つことを示しなさい.
解答欄

数列

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かきつばた

⑴帰納法
n=1の時、a₂-a₁=1/2よりa₁<a₂
n=kの時不等式が成り立つとする
n=k+1の時 ∑はk=0からn+1までの和とする
右辺-左辺=∑1/k!+1/(k+1)!-∑1/k!=1/(k+1)!

かきつばた

⑵n=3の時
左辺=1/6
右辺=1/4より成立
n=kの時

1/n!<(1/2)^(n-1)が成立すると仮定する

n=k+1の時
左辺=1/1×2×3×…×n×(n+1)
右辺=1/1×2×2×2×…2×2
よって左辺<右辺