Question

‪( ´▿` )‬

数B 微分の最大値について
下線部の所がわかりません。解説よろしくお願いします🙇

例題43aは定数とする。 次の関数の最大値を求めよ。
f(x)=-x³+3ax (0≤x≤1)
針まずαの値によって関数が極大値をもつかどうかを考える。 極大値をもつとき、 極
大値をとるxの値が 0<x<1 にあるかそうでないかでさらに場合を分ける。
f'(x)=-3x2+3a=-3(x^²-a)
ならばf'(x)≧0であるから, f(x) は単調に減少する。
よって、0≦x≦1 において f(x)はx=0 で最大となる。
a>0 +251 +² f'(x) = −3(x+√a)(x-√√a) f'(x)=0 とするとx=±√
[1] 0<√a <1 すなわち0<a<1のとき
0≦x≦1におけるf(x) の増減表は、次のように
なる。
x
f'(x)
f(x)
0
√a
+ 0
> 極大
***
1
よって, f(x) は x=√d で最大となる。
[2] 1≦√d すなわち1saのとき
x=f'(x) ≧0であるから、f(x) は単調に
増加する｡
よって, f(x)はx=1で最大となる。
以上から
答 a≦0 のとき x=0 で最大値 0
0<a<1のとき x=√a で最大値 24√a
X
1≦a のとき
x=1で最大値 3α-1
[2] f(x)*
最大
最大
X

Answer 1

✨ Best Answer ✨

はん

①a≦0であるということはaは負の数なので、f'(x)の(x²-a)は必ず正になります。したがってf'(x)＝-3(x²-a)は常に負となります。

②a>0の場合はf'(x)が正となる時も負となる時もあるので、f'(x)を二次関数と考えて良いのだと思います。

②の説明にはあまり自信が無いので他の方の回答も見てみてください💦