Question

みみ

cos（α-β）の係数が正とはどういったことでしょうか？角度の差が90度以上になることも有り得ると思ったので常に正とは限らないかと思ったのですが...教えて頂きたいです🙇‍♀️

三角関数 : 和積の公式、 正弦定理, 相加相乗平均の関係
三角形ABCは半径が 1/2 である円に内接しているという条件の
2
下で,以下の問いに答えよ. AB, BC, CA でそれぞれ線分AB,線分
BC, 線分 CA の長さを表す。
(1)∠A = α, ∠B = β, ∠C = y とおくとき, AB, BC, CA を
a, β, y を用いて表せ。
(2) AB2 + BC2 + CA2 の最大値を求めよ.
(3)AB x BC x CAの最大値を求めよ.
[岐阜大〕

(1)では①の等号成立
(2)では③の等号成立は α =
b
b = 2 すなわち ab=2のとき.
このように何度も不等式をつなげて最大最小を求めるとき
ときは等号成立に
にならず両辺に変数が残るときや、(2)のように何度も相加相乗平均の関係を
意が必要です。 (1) のように相加相乗平均の関係を利用しても一方の辺が定
利用したときなどは気をつけましょう。 ちなみに正解は
(1) x2 + 1 の最小値は1(x=0のとき20
(2) (a+1)(b + 2) = ab +
2
ab
+32√2+3
等号はab = √2のとき成立するので最小値は2√2+3です。
解答
1/12+2= 2/21 (cos2(a-β)≦1より)
等号が成立するのは
1
cos(a+β) + 1/2
cos(a-
β)=0,cos2 (α-B)=1
のとき、つまりα -β = 0 かつ cos(a+β)=-1 cos(a-
109
1/12 cos(a-B) (= -12)の
ときである. これはα = β=yのときに起こる。
よって、求める最大値は
3
(3) 相加相乗平均の関係と(2)の結果より
4
≧ AB2 + BC2+CA2 ≧ AB2xBC2×CA2 ...... ①
9/4 ≧ 3 {AB×BC×CA}2
BC
(1) △ABC の外接円の半径が だから正弦定理より
これより
⇒ {AB×BC×CA≦(2)
sin a
CA
sin B
かれそうです
AB
AB × BC × CA ≦
3√3
1
=2.
sin y
しかし、
よって,
この等号が成立するのは①の2か所の等号が同時に成立するときである.そ
れらはともに正三角形のときである. よって, 求める最大値は
8
AB=siny, BC = sinα, CA = sinβ d00
(2)AB2 + BC2 + CA2
2 α + sin2 β + sin' y
= sin² a
1 - cos 2a
=
※三角形の角の条件に注目!!
もち
1-cos 28 1 - cos 2y
2
+
2
3- (cos 2a + cos 2ẞ + cos 2 (л - α-B)) (a + B + y = π ))
2
3-2cos (a +β)cos(a-β)-cos (2a+2β)
2
フォローアップ]
3√3
8
1. 上の解答(2) では, (*) の最大値を求めるのに, まず α-βを固定して
Q-
α+βを変化させましたが, はじめに α-βを動かすと次のようになります.
cos2(a+β)-cos(a+β)cos(a-β) +2
-cos' (a + β) + | cos(a + β)| + 2
==
9
{|cos(a+B)1-1/2 + 1/7
180°C
ここで上式の値が
となるのは,1° 「cos(a+β)
=
4
cos(a-β)=-1」
前半は和積の公式を利用 後半は cos (2π-0)=cos0 を利用)
1
または 2° 「cos(a +β) == cos(α-β)=1」のときであり,1°は起こ
2
なので、この中
らず,2°からα=β=1
=1のときである。
.........(*)
3-2cos(a+β)cos(a-β)-2cos2(a+β) +1
2
=-cos' (a + β)-cos(a +β)cos(a-β) + 2
={cos(a + b) + cos(a - b)² +
B2+1/2
cos² (α-B) +2 (-{cos(a + B) +
cos² (α-B) +2
(a-B)+2
cos(a-B)² ≤ 0)
2.もう一度もとの式を眺めるところから始めます。本解答は関数に直し
してから、角の和と差の一方を固定,他方を動かしました. それを具体的な
数にする前に,図の中で2点を固定してみて1点を動かしてみます.例
ばB,C を固定してAを動かし,AB2 + AC2が最大になる状況を先につ
んでみようとします。 そこで2辺の2乗和が出てくる作業は何かないた

5.(2)の本解答のように sin in siny (a +β+y=π) の最大値を直接
求めることもできます. cos(a -β) の係数が正なので,先に cos(aβ) 1
を利用してα-βを解決させておいて後からα+ βを動かしていきます。
別解 sin a sin β sin y = 1/31 {cos(a +β)-cos(a-β)} sin(-α-β)
-12{cos(a+β)
= 1/12 {-cos(ax +B)+cos(a-β)} sin(a+β)
見
38
< 1/2 - cos(a +B)+1} sin(ax +β) (sin(ar +β)>0より)
5
最後の式の最大値を求めればよいが、これは正なので2乗して議論しても
よい。そこで2乗して cos(a +B)=1とおけば1/12 (1-1) (1-12) となる.

Answer 1

✨ Best Answer ✨

あ

いやcos(α-β)が正になるかどうかではなく、
3枚目の写真の5行目のcos(α-β)の係数が1/2なので正になっているということです。