Question

カイ

整数の問題です、とく方針はわかっているのですが、最大公約数が6であるから〜の部分の解説が理解できません、教えてくださると助かります

[2]
291, 294
6009
3つの整数 36,120, nの最大公約数が6,最小公倍数が360 となる
ような自然数nを求めよ。

最小公倍数は
[2] 36,120 を素因数分解すると
36=22.32, 120=23.3.5
最大公約数 6, 最小公倍数 360 を素因数分解すると
6 = 2.3, 360 = 23.32.5
36,120,nの最小公倍数が, 2, 3, 5 以外の素因数をも
たないから, n=23.5° (a, b, cは0以上の整数)
とおける。
a = 1,6≧1,c≧0
最大公約数が6であるから
最小公倍数が360であるから
a ≦ 3,6≦2,c≦1
よって, a, b, cのとり得る値は
a = 1,
6=1,2, c = 0, 1
ゆえに
36= 22.32.5
120 23.31.
n= 2 .3b
6=21.31
360 = 2.32
(a, b, c) = (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 2, 0), (1, 2, 1)
したがって, 求めるnの値は
n = 6, 18, 30, 90
練習 291 [1] 次の各組の最大公約数と小公倍数を求め

Answer 1

✨ Best Answer ✨

tan_ⅰ

36=2²×3²
120=2³×3×5
これら2つの数の最大公約数は2²×3
でも36、120、nの最大公約数は6
n=2^a×3^b×5^cにおいて、a≧2にしてしまうと、3つの数が2²の公約数を持ってしまうので最大公約数は6になりません
また、3^b×5^cではb、cにどんな自然数をいれても奇数になってしまうので2をかける必要があります
よってa=1
このときb≧1ならcがどんな数でも6の倍数になります
(2×5^cでは6の倍数にならないため)
したがってa=1、b≧1、c≧0
最小公倍数は360=2^3×3^2×5
36=2²×3²、120=2³×3×5よりa≦3、b≦2、c≦1
(たとえばaが4以上だと最小公倍数に2⁴が含まれてしまうため)
よってa=1、b=1、2、c=0、1

カイ

納得しました、ありがとうございます😀