Question

cœur

色をつけた問題で、必要十分条件がなぜD＜0になるのか教えてもらえると嬉しいです🙇🏼‍♀️

212 次の2次不等式の解がすべての実数であるとき 定数mの値の範囲を求めよ。
(1) x2-mx+1> 0
*(2) -x2+mx+2m≦0
□ 213 次の条件を満たすように、定数mの値の範囲を定めよ。 (1)-00

とすると
2次方程式x2-mx+1=0 の判別式をD
D=(-m)2-4・1・1
=m2-4=(m+2)(m-2)
2次不等式 x-mx+1>0のxの係数が正であ
るから,その解がすべての実数であるための必
要十分条件はD< 0 である。
よって(m+2)(m-2) <0
-2<m<2
したがって

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

D<0であるとき、
下に凸の放物線y=x²-mx+1はx軸より上にあるので、
すべての実数xに対してx²-mx+1>0です

すべての実数xに対してx²-mx+1>0であるとき、
下に凸の放物線y=x²-mx+1はx軸より上にあるので、
D<0です

よって、D<0であることは、
すべての実数xに対してx²-mx+1>0であることの
必要十分条件です

cœur

回答ありがとうございます。
y=x²-mx+1>0はxの係数が正なので下に凸の放物線なのはわかったのですが、x軸より上にあると知るにはどうやるのか教えてくれれば幸いです。

和

D<0ということは、
放物線とx軸の共有点がないということです
下に凸であることと合わせれば、
x軸より上にあるといえます

cœur

そうですね！最後に確認なんですが、y=x²-mx+1>0の式は、下に凸で共有点がないため、D<0と表すことになるということであっていますか。

和

その文面だと、合っているとも違っているともとれます

y=x²-mx+1のグラフは、下に凸ですが、
共有点が何個あるかはmの値によります

問題文で与えられた条件:共有点がない　を
D<0という条件に言い換えています

cœur

なるほど。そういうことだったんですね。
理解できました。丁寧な説明と対応をありがとうございました🙇🏼‍♀️