Question

ココア

これの証明をと等号が成立する条件を教えてください。
至急お願いいたします。

<コーシー シュワルツの不等式>
実数a, b, x, yに対して,
不等式(a2+62)(x2+y^2(x+by)2 ... (*) が成立する。

Answer 1

あ

a→=(a,b)、b→=(x,y)とおくと
内積の式より
a→・b→=|a→|×|b→|×cosΘ
が成り立つ。
-1≦cosΘ≦1なので
|a→|×|b→|×cosΘ≦|a→|×|b→|
よって
|a→|×|b→|≧a→・b→
が成り立つ。
ここで
|a→|×|b→|=√(a²+b²)×√(x²+y²)
a→・b→=ax+by
よって
|a→|×|b→|≧a→・b→より
√(a²+b²)×√(x²+y²)≧ax+by
が成り立つ。
両辺を2倍すると
(a²+b²)(x²+y²)≧(ax+by)²
が成り立つ。
等号成立条件は
cosΘ=1
つまりa→とb→が平行であるとき
つまりa:b=x:yのとき。
つまりay=bxのとき。