Question

じゅじゅじゅ

教えてください！

4 数列{a}(n ≧ 1)に対して, Sh=
n
k=1
3S„ = (n + 1)(n + 3) a„ - 5 (n ≥1) 0
が成り立つとする.
を求めよ.
kn≧1) とおくとき,自
(2)}
> ak
(1) an
n
(2) を求めよ、
k=1
k+2

Answer 1

✨ Best Answer ✨

あ

(1)
n=1のときS₁=a₁でありこれを式に代入すると
3a₁=2×4a₁-5
5a₁=5
a₁=1
またn≧2のとき
この式からnがn-1のときの式を引くと
3(Sn-Sn-1)=(n+1)(n+3)an-n(n+2)a(n-1)-5-(-5)
3an=(n²+4n+3)an-n(n+2)a(n-1)
(n²+4n)an=n(n+2)a(n-1)
(n+4)an=(n+2)a(n-1)
an={(n+2)/(n+4)}a(n-1)
={(n+2)/(n+4)}×{(n+1)/(n+3)}×{n/(n+2)}×…×(6/8)×(5/7)×(4/6)×a₁
={5×4/(n+4)(n+3)}×a₁
=20/(n+4)(n+3)
またn=1のときもこれは成り立つ。
よってan=20/(n+4)(n+3)

(2)
(1)より
ak/(k+2)
=20/(k+4)(k+3)(k+2)
={10/(k+3)(k+2)}-{10/(k+4)(k+3)}
={10/(k+2)}-{10/(k+3)}-{10/(k+3)}+{10/(k+4)}
よって
Σ(k=1→n)ak/(k+2)
={10/(n+4)}-{10/(n+3)}-{10/(n+3)}+{10/(n+2)}
+{10/(n+3)}-{10/(n+2)}-{10/(n+2)}+{10/(n+1)}
+{10/(n+2)}-{10/(n+1)}-{10/(n+1)}+{10/n}+…
+(10/7)-(10/6)-(10/6)+(10/5)
+(10/6)-(10/5)-(10/5)+(10/4)
+(10/5)-(10/4)-(10/4)+(10/3)
={10/(n+4)}-{10/(n+3)}-(10/4)+(10/3)
={10/(n+4)}-{10/(n+3)}-(5/2)+(10/3)