Question

のす

数Bの2項間の漸化式の問題です。
(1)の解き方が分からないので教えて欲しいです。

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次の条件によって定められる数列{an} の一般項 an を求めよ。
(1) α1=2, an+1=an+2"-1
(3) a1=2,2an+1=an+1
(2) a1=1, an+1+an=3
→ p.39, 40

漸化式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

kino

両辺を2^n+1で割ります。

のす

ここから先どのように解けばいいのか分からないので、教えて頂けないでしょうか。

kino

最後の式で特性方程式で解ける形になっています

Answer 2

和

階差数列を利用するのが一般的です
この漸化式は
「aₙに2ⁿ⁻¹を足すと次のaₙ₊₁が得られる」
と読めます

a₁に2⁰=1を足すとa₂、
a₂に2¹を足すとa₃、
a₃に2²を足すとa₄、
……、
aₙ₋₁に2ⁿ⁻²を足すとaₙ（n≧2のとき）
であるから、

n≧2のとき
aₙ = a₁ +1+2¹+2²+……+2ⁿ⁻²
= a₁ +(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)
= a₁ +2ⁿ⁻¹-1
= 2 +2ⁿ⁻¹-1
= 2ⁿ⁻¹+1 ……☆

n=1のとき
aₙ=2で、これは☆に統合できるから、まとめます

結局n=1,2,3,……に対してaₙ = 2ⁿ⁻¹+1