Question

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(1)について質問です。なぜこの問題では場合分けをしないのですか？横にどちらも負になればよいから場合分けをしないと書いてありますが意味がよく分かりません💦なぜそのように言えるのか教えて欲しいです🙇🏻‍♀️🙏🏻

3 2次方程式
Think
例題 75
ある区間でつねに成り立つ不等式
次の条件が成り立つような定数αの値の範囲を求めよ.
(1) 2≦x≦6 で, つねにx-4ax+4a+8<0 が成り立つ.
(2) 2≦x≦6 で, つねにx-4ax+4a+8>0 が成り立つ.
考え方 グラフで考える. f(x)=x-4ax+4a+8 のグラフは下に凸
(1) 区間内での最大値が負であればよい.
m
(2) 区間内での最小値が正であればよい.
解答 f(x)=x2-4ax+4a+8 とおくと,
f(x)=(x-2a)-4a²+4a+8
(1) y=f(x) のグラフは下に凸なので,
****
2≦x≦6 での最大値はf(2) または ∫ (6) である.
2≦x≦6 でつねに f(x) <0 となる
条件は,
Jf(2)=-4a+12 < 0
lf(6)=-20α+44 < 0
これをともに満たすのは, a>3
(2)y=f(x)のグラフは下に凸で,軸は直線x=2a
(i) 2a <2 つまり α <1 のとき
2≦x≦6 での最小値はf(2)
よって, 求める条件は,
f(2) = -4a+12 > 0
したがって a <3
これと α <1より, a <1
(ii) 2≦a≦6 つまり 1≦a≦3のとき
2≦x≦6 での最小値はf(2a)
よって, 求める条件は,
81
2a
26x
どちらも負になれば
よいから、 場合分け
はしない.
下に凸なので,最小
となるのは軸, 左端
x=2, 右端 x=6の
いずれか
軸の位置で3通りに
場合分け
必ず, 場合分けした
範囲と合わせる.
f(2a)=-4a²+4a +8 > 0
a2-a-2<0
したがって,
-1<a<2
2
2a 6 x
(a+1) (a-2)<0
これと 1≦a≦3 より, 1≤a<2
-1<a<2
(iii) 6 <2α つまり α>3 のとき
2≦x≦6 での最小値はf(6)
よって, 求める条件は,
したがって, a<-
f(6)=-20a+44> 0
11
これと α>3 より, 解なし
よって, (i)(ii)より,
a<2
12a
(i)
(ii)
XC
1
2 a
場合分けしたものは,
最後はドッキング
20

不等式

Answer 1

✨ Best Answer ✨

BaSO4

2〜6下に凸のグラフでf(x)>0が成り立つとき、
1.2が最小値だけど0を越えている場合
2.6が最小値だけど0を越えている場合
3.2〜6の範囲に頂点があり、そこが0を越えている場合

今回はf(x)<0を成り立たせようとしているので、頂点のことは不要です。
そうすると
1.2が最大値の場合
2.6が最大値の場合
の2パターンを考えることになります。
なので、f(2)とf(6)を計算しています。
場合わけしないと書いてありますがしてると言えばしてるんです。