Question

a

中線定理を適用する三角形をどうやって決めるのか教えてください。

374
重要 例題 73
中線定理の利用
四角形ABCD の対角線 BD, AC の中点をそれぞれ M,
Nとすると
AB2+BC2+CD+DA=AC+BD2+4MN2
であることを証明せよ。
共
A
D
M
B
p.363 基本事項
CHART & SOLUTION
( 線分)の問題
中線があれば中線定理
△ABD (中線 AM), △CDB (中線 CM), MCA (中線 MN)
に中線定理を適用して, 証明すべき等式を導けばよい。
B
M
線分AMは△ABDの中線
D
△ABCの辺BC の中点を
とすると
答
中線定理
△ABDに中線定理を適用して
D
AB2+AD2=2AM2+2BM2
A
①
△CDB に中線定理を適用して
M
Z
CD2+CB2=2CM2+2BM 2
①+②から
AB2+BC2+ CD2+DA 2
②
B
=2AM2+4BM2+2CM2
ここで,MCAに中線定理を適用して
ゆえに
MA2+MC2=2MN2+2AN 2
AB2+BC2+CD+DA2=2(AM2+CM2)+4BMA
=2(2MN+2AN2)+4BM2
=4AN+4BM + 4MN?
=AC2+BD+4MN2
AB2 + AC2
=2(AM2+BM2)
N
補助線 AM, CM, MN を
引くとわかりやすい。
inf.
BN, DN,
MN を引き, BCA,
△DAC, NBD に中線定
理を適用しても証明できる。
■4AN2=(2AN)=AC2
4BM2-(2BM)2=BD²

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

適用できそうな三角形自体が
そんなに多くありません

示すべき式も見て、進めていきます

a

丁寧に教えてくださってありがとうございます。理解できました！