Question

あ

(2)わからないのでよろしくお願いします

(1) f(x)が奇関数、 g(x)が偶関数であることの定義をそれぞれ述べよ。
(2)全ての実数で定義された任意の関数 h(x)はある奇関数 f(x) およびある偶関数g(x)を用
いてh(x) =f(x) + g(x) と表せることを示せ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

まず、答案を書く前に、構想を練ります
構想を練らずに最下の答案なんて書けません

f(x)は奇関数なのでf(-x) = -f(x)を満たします
g(x)は偶関数なのでg(-x) = g(x)を満たします

もしもh(x) = f(x)+g(x)……①と表せたとすると、
h(-x) = f(-x)+g(-x)
h(-x) = -f(x)+g(x)……②
です

いま、任意のh(x)に対して
（つまり、与えられたどんなh(x)に対しても）
f(x)とg(x)を見つけてきたいのだから、
　f(x) = ( h(x)の式 )
　g(x) = ( h(x) の式 )
という形にしたい、という流れです

よって、①②から
（f,gの連立だと思って解くイメージ）
　f(x) = ( h(x)-h(-x) ) /2
　g(x) = ( h(x)+h(-x) ) /2
です

どんなh(x)であっても、
上のようにf(x),g(x)をつくれば、
f(x)は奇関数、g(x)は偶関数に
なっているということであり、
それらの和でh(x)はつくれているわけです

以上の自然な考え方を踏まえて、
答案をつくります

f(x),g(x)を
　f(x) = ( h(x)-h(-x) ) /2
　g(x) = ( h(x)+h(-x) ) /2
と決めると、f(x)は奇関数、
g(x)は偶関数であり、
　h(x) = f(x)+g(x)
と表せる

以上です

無茶苦茶な回答をしないでほしい…