Question

むにゅたん

(2)でなぜ5-2aとなるのか、教えてください。(5+2aだと思ってました)

考え
1
次の問に答えよ。
(1) 4桁の正の整数abcd が 11 の倍数ならば, a-b+c-dも11の倍数となることを示せ。
(2) 4桁の正の整数2a3aが11で割り切れるとき,この整数を求めよ。
(1) 4桁の正の整数abcd を N とおくと
N = 1000α+ 1006+10c+d
Nが11の倍数のとき, N = 11k (kは正の整数) とおける。 一方
N = (1001α+996+11c) - (a-b+c-d)
=11(91a +96+c) - (a-b+c-d)
と変形できるから
a-b+c-d=11(91a+96+c)-N
= 11(91a +96+c-k)
91a +96+c-kは整数であるから, a-b+c-d は 11 の倍数である。
(2)2a3aは4桁の正の整数であるから, αは0以上9以下の整数である。
よって
0 ≤a ≤ 9
①
また, 2a3aは11の倍数であるから, (1)の結果より
Nをある整数とa-b+c-a
の差の形に変形する。
| N = 11k を代入する。
a, b, c, k は整数
3
(1) 4
4
)
よっ
ゆう
(2)
2-a+3-a = 5-2a
は11の倍数である。 ここで, ① より
よって 5-2α=-11,0
-13 ≦ 5-24 5
(ア) 5-2a=-11 のとき a=8
このとき4桁の数は 2838
(イ) 5-2a=0のとき a= となり、不適。
2
(ア)(イ)より, 求める整数は
2838
①を利用して, 5-2aの値の
とり得る範囲を絞り込む。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

和

(1)でabcd=11N ⇔ a-b+c-d=11N'
とわかったのだから、そのまんま(2)でも
2a3aが11の倍数
⇔ 2-a+3-aつまり5-2aが11の倍数
です