Question

ももな

なぜx^₄とかは積分できるのにcosx^2とか三角関数になると、次数を下げないと積分できないのですか

5章
13
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日本 例題 116
三角関数の不定積分 (1) (次数を下げる )
不定積分を求めよ。
Scosxdx
次の
CHART & SOLUTION
(2) Ssin³xdx
0000
(3) Ssin3xcos2xdx
数学Ⅱ p.224 まとめ, 重要 127
三角関数の積分 次数を下げて,1次の形にする
2倍角の公式
(2)3倍角の公式
(3) 積和の公式
を用いて式変形すると, sin や cos の1次式の和になり積分できる。
Scos xdx=
(1+cos2x)dx=1/2x+1/1sin2x+C
(2) sin3x=3sinx-4sinx から
sin x=1/12 (3sinx-sin3x)
Ssin'xdx=/12 (3sinx-sin3x)dx
3
=-cosx+ cos 3x + C
(1) fsin 3.x cos2xdx = 1/2/
4
12
12S (sin5x+sinx)dx
1
10
-
1
-cos5x- cosx+C
2
(2)は、置換積分法によって次のように計算する方法もある。
COSx=t とおくと
-sinxdx=dt
2倍角の公式
cos 2x=2 cosx-1
から cos'x=1+cos2x
2
← 3倍角の公式から。
◆積→和の公式
sin3xcos2x
=1/12 (sin(3x+2x)
+sin(3x-2x)}
(p.192 基本例題 117, p.195 重要例題120 参照)
よって fsin'xdx=fsinx sinxdx=f(1-
sinxdx=f(1-cos'x) sinxdx=f(1-F)(-1)dt
10/23t+C=1/23cosxcosx+C
X-
(2)の結果と違うように見えるが, 3倍角の公式 cos3x=-3cosx+4cos'x を用いて
計算すると,これらは同じ関数であることがわかる。
不定積分

Answer 1

✨ Best Answer ✨

🍇こつぶ🐡

cos(x^2)は「合成関数」なので、それに対応する簡単な原始関数（積分結果の関数）が存在しません。

実際に、 cos(x^2)は 初等関数では表せない（つまり、普通の関数の形にできない）と数学的に証明されています。

だから、次数下げして積分します🙇