Question

りり

(2)について。画像3枚目の上から1行目〜2行目の
「3^i,7^iの積とみなす」「すべての積がそろえばその和は展開の基本法則を用いて簡単に求められます」
という二カ所がわかりません。

なお、展開の基本法則とは以下のことを指すようです。

A,Bがそれぞれいくつかの項の和であるとき、AとBの積は、「Aの項とB
の項を1つずつ選んでかけ合わせたもの」すべての和に等しい.

の基本法則」,
応用問題 01
万肥伝界」
(1) (a) (x-1)(x'+x+x'+x+x'+x'+x+1) を展開せよ.
(b)(a)を利用して, K=37+3°+3+3+3+32+3' + 1 の値を求めよ.
(2) N=33.72 の正の約数の個数と,その総和を求めよ.
解答
(1) (a)(x-1)(x'+x+x'+x+x'+x'+x+1)
=x³+x²+x+x³+x²+x³+x²+x−x²-x-x³-x¹−x³-x²-x-1
=x-1.
(b) (a)の結果
(x-1)(x'+x+x+x+x+x2+x+1)=x-1
に x=3 を代入すると, (3-1) K =3°-1 を得る. よって,
である.
K =
3°-1 6560
=
=3280
3-1
2
(2)N =33.72 は Nの素因数分解なので,Nの正の約数は37(ただし,iは0,1
2,3のいずれか, jは 0,1,2のいずれか)の形の自然数である : ただし, 3°や7
は1とする. よって, Nの正の約数の個数は (i, j) の選び方の総数 4×3=12で
ある.また, Nの正の約数は 「3°, 31, 32, 33 のうちから1つ, 7,772 のうちか
,

ら1つを選びかけ合わせたもの」であるから,そのすべてをたし合わせたものは,
展開の基本法則より
(3°+3'+32 +3) (7°+7'+7 )
1
に等しい.この値は(1+3+9+27)(1+7+49)=40-57=2280 で,これがNの正の
約数の総和である.
解説
展開の基本法則が,(1)(b)や(2)のような,文字式の計算と一見無関係そうな問題の解
決に役立つのは,はじめてみる人には意外でしょう.しかし,これはよくあることで
す。それだけ,加法と乗法は基本的な演算であって,数学を根底から支えているとい
うことなのです.
(1)もし(a)を,素朴な分配法則だけを用いて計算すると,手間が大変です.しかし,
展開の基本法則をイメージして, 1つ目のカッコから2択,2つ目のカッコから8
択,だから項が 2×8=16 [個〕 生じる,と見通しを立てて一気に計算してしまえ
ば,暗算も十分可能です.なお,この結果は次のように一般化することができます:
nを自然数として,
(x-1)(xn-1+xn-2+…+x+x+1)=x"-1.
次に, (a)の結果に x=3 を代入すれば, 一瞬で(b)が解決します. このように, 多
項式に関する結果に対して, そこにある文字に適当な値を代入して, ほしい情報を
得ることは,数学の大事なテクニックの一つです. これから先もいろいろなところ
で,実例をみることでしょう.
なお, (b) のKのようなものは,数学B で “等比数列の和” として登場し、その値の
求め方も改めて学びます。 そのときは,ここでの説明と違う方法が使われるで
しょうが,ここに述べた, 多項式の等式を用いる方法もよいものなので、ぜひ身に
つけてほしいです.
(2)「3°や7°は1とする」という規約は数学Ⅰの教科書には説明されていないことな
のですが,それさえ納得してもらえれば、この解答に理解しにくいところはないと
思います.しかし,こんなうまい発想は,一度も習ったことがないと,なかなか頭
に浮かぶものではないでしょう.
まず,Nの正の約数が ただし は 0,1,2,3のいずれか, jは 0,1,2
のいずれか)という式によりすべて表されていることを把握します.iが4通り,j
が3通りの可能性があるので, (i, j)としては4×3=12 〔通り〕があり得ます.

これはわかりやすいのですが, 次が問題ですね. 3′ 7' を 3'と'の積だとみなす
のがポイントです. すべての積がそろえば,その和は,展開の基本法則を用いて簡
単に求められます実はここでは, 「展開」 の逆の操作, 「因数分解」 をしている
のですが, 気づきましたか? 12個の3′・7たちの総和が,
(3°+3' +32 +3) (7°+7 +72) 因数分解されたのです.
このように,式の計算やそこに現れる計算の公式は,単に「計算をラクにする」
だけではなく,「数学の推論を進める」, 「隠された数学の構造を発見する」 働きがあ
るのです. みなさんがこれから数学を真剣に学んでいけば,よく知っていたはずの
ごく易しそうな公式 (「展開の基本法則」 のような!)が,ものすごいパワーを発揮
して、目の前の霧を一瞬にして払ってしまう, そんな現場に何度も立ち会うはずで
す。 ぜひ, 楽しみにして, 基本的なことからゆっくり学んでください.