Question

悠

例題33の(1)では等差数列で例題49番の(1)では階差数列になる理由が分かりません。同じ形なら等差では無いのですか？

例題
基本例
次の条件によって定められる数列{a}の一般項を求めよ。
33 等差数列,等比数列,階差数列と漸化式
α = -3, an+1=an+4
(3) a = 1, an+1=an+2"-3n+1
(2) (=4,20+1+30x=0
(3)類 工学院大]
漸化式を変形して,数列{an) がどのような数列かを考える。
00000
P.462 基本事
(1) an+1=an+d (an の係数が1で, dはnに無関係) 公差dの 等差数列
an+1= ran
12) Anti = a
(定数項がなく,rnに無関係)
→公比の等比数列
→f(n)=bn とすると, 数列{6} は {an}の階差数列であるから、公式
n-1
k=1
anibを利用して一般項 αを求める。
(1) an+1-an=4より, 数列{an}は初項α1=3, 公差4の
等差数列であるから
an=-3+(n-1)・4=4n-7
463
3
(2) an+1=-
2
-an より,数列{an}は初項 α1=4,公比-
3
<a=a+(n-1)d
の等比数列であるから
an=4.1
3\n-1
2
<a=ar
(3) an+1-an=2"-3n+1より, 数列{an}の階差数列の第n 階差数列の一般項が
項は2-3n+1であるから, n≧2のとき
n-1
an=a+ (2-3k+1)
k=1
n-1
=1+2-3 Σk+ 1
+2-3k+1
k=1
すぐわかる。
a=a+b
b=1
2 (2-1-1)
=1+
2-1
-3111(n-1)n+(n-1)
-3. (n-
5
=2"-1n2+
n-2
......
2
2
①
Σ2は初項2, 公
k=1
2 項数n-1の等
数列の和。
n=1のとき
・12+
33
21-33.1²+ 352.1-2=1
a =1であるから,①はn=1のときも成り立つ。
したがって
3
2
2
5
an=2"- anton-2
①初項は特別扱
an+1=an+f(n) 型の漸化式において, f(n) が定数の場合, 数列{an} は等差数列と
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
(1) a1=2+1+1=0
(2) a1=-1, an+1+αn=0

基本
ZXP
PX, I
以下、
(1) 円
(2) F
指針
8
基本例 例題 49 図形と漸化式 (1) ･･･
領域の個数
00000
2本の直線がある。 次の場合、
平面上に, どの3本の直線も1点を共有しない, n
平面が直線によって分けられる領域の個数をnで表せ。
(1) どの2本の直線も平行でないとき。
(2)n(n≧2本の直線の中に, 2本だけ平行なものがあるとき。
[類滋賀大]
D2) 増加する。
a=az+3
指針 (1)n=3の場合について,図をかいて考えてみよう。
2=4(図のD1~D)であるが,ここで直線を引くと、
はと2点で交わり、この2つの交点でlyは3個の
線分または半直線に分けられ、領域は3個(図のDs, De.
n=3
e
De
D
Da D.
D
Dr
D
よって
解答
同様に,n番目と (n+1) 番目の関係に注目して考える。
n本の直線によってα 個の領域に分けられているとき, (n+1) 本目の直線を引く
と領域は何個増えるかを考え, 漸化式を作る。
(2) (n-1) 本の直線が (1) の条件を満たすとき, n本目の直線はどれか1本と平行に
なるから (n-2) 個の点で交わり, (n-1) 個の領域が加わる。
(1) n本の直線で平面が α 個の領域に分けられていると
する。
(n+1) 本目の直線を引くと,その直線は他のn本の直 (n+1) 番目の直線は
線で (n+1) 個の線分または半直線に分けられ, 領域は
(n+1) 個だけ増加する。ゆえに
よって
an+1-an=n+1
anti=an+n+1
また
a₁=2
数列 {an} の階差数列の一般項はn+1であるから,
本の直線のどれとも平行
でないから、交点は
解答
n-1
n2+n+2
n≧2のとき
an=2+2(k+1)=-
k=1
2
これはn=1のときも成り立つ。
n²+n+2
ゆえに、求める領域の個数は
2
◄Σ(k+1)= Σk+21
k=1
=1/2(n-1)ntn-l
(2) 平行な直線のうちの1本を l とすると, lを除く
(n-1) 本は (1) の条件を満たすから,この(n-1) 本の
直線で分けられる領域の個数は (1) から
An-1
更に, 直線 l を引くと, lはこれと平行な1本の直線以
外の直線と (n-2) 個の点で交わり (n-1) 個の領域が
増える。 よって、求める領域の個数は
(1)の結果を利用。
an-1+(n-1)=
(n-1)+(n-1)+2
2
+(n-1)=
n²+n
an は、 (1) の αでnの
2
代わりにn-1 とおく。
平面上に,どの2つの円をとっても互いに交わり、また、3つ以上の円は同一の点で
は交わらないn個の円がある。これらの円によって、平面は何個の部分に分けられ
あるか。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ととろ

an+1 - an = の式にnが含まれるか含まれないかの違い
含まれなければ階差は一定、つまり等差数列
含まれていたら階差は一定にならない、つまり等差数列ではない

Answer 2

🍇こつぶ🐡

一見似た形に見えますが、右端の項に注目してください。

例題49は、 n本目の直線を引いた時に増える領域の数が n に依存して増えていくため、定数を足す等差数列にはならず、階差数列の考え方を使って一般項を求めることになります。

an+1-an＝d(定数)→等差数列
an+1＝f(n) (nの式)→階差数列の公式を利用🙇