考
合
2
3
20
23
61+45+20=76
4
カードの入れ方の総数=5441
24 24よって直角三角形になるのは、2点が直径
直径となる2点の組み合わせは4通り。
サ
908+
108
2
900
.918
120
3-2
120
359.65
120
17
17
2
20
60
11
12
120
10.9
432
3473
27543
300
3:2
3
8
10
4
15
4.8
2
150
7:6-5
3.2
152
(2)
その各々に対し、三角形となる点の組み合わせ
方が6個ずつあるから、24
3
•
3CY.ICL
10C2
5
120
の箱にカードを入れる方
ドと箱の番号が一致する
人。
22
5 場合の数 確率
82. 〈円周上の点で三角形を作るときの確率>
円周上に等間隔にn個 (n≧4)の点が配置されている。これらの点から異なる3点を 6 図形の性質
作為に選び出し, それらを頂点とする三角形をつくる。
(1)8 のとき,三角形が直角三角形になる確率を求めよ。
(2)が偶数であるとき,三角形が直角三角形になる確率を力の
121
A
86. <三角形の内角の二等分線〉
△ABCにおいて, AB=12, ∠Aの二等分線と辺BC
分する点をE, ACを16に内分する点をFとする
わるとき, 辺 ACの長さを求めよ。
参考 完全順列の性質
1~nの数字を1列に並べた順列のうち、どのk番目の数もんでな
いものを完全順列という。
n個の数の順列 1,2,…,nの完全順列の個数を W(n) とすると,
一般に次のように表される。
W(1)=0, W(2) =1,
W(n)=(n-1) {W(n-1)+W(n-2)(3)
82 〈円周上の点で三角形を作るときの確率>
(3) 12個の点を順に A1, A2, A1z とする。
37. <三角形の辺の内分点と面積比〉
1辺の長さ1の正三角形ABCにおいて, BCを1:2に
内分する点をE, AB を 12に内分する点をFとし
とADの交点をQ, ADとBEの交点をRとする。 こ
の
(12)直角三角形 1辺が円の直径となるとき
同
◆番号を選ぶ。
まず, A. が鈍角三角形の1つの頂点で, ∠A, が鋭角となる場合を考える。
(1)8点から3点を選ぶ方法は全部で C3=56(通り) ある。
は
◆カードと箱の番号
なる番号を固定し
は
←s C2通りの番号の
三角形が直角三角形となるのは,三角形の1辺が円の直径となると
++
したがって, 直角三角形が得られる3点の選び方は,円の直径の両
きである。
端となる2点の選び方が4通りあり,そのそれぞれについて残りの
1頂点の選び方が6通りあるから, 全部で4×6=24(通り) ある
◆円の直径の両端となる2点
の選び方は 8÷2=4(通り)
円に内接する四角形ABCD において対角線 BD 上に
点Eをとる。 また, ∠BAD=96°, ∠ABD=35° とす
1) ∠ACB の大きさを求めよ。
AB-CD = AC-BE であることを示せ。
3) ABCD + ADBC = AC BD であることを示せ。
8点から,任意に3点を選
んで結べば、1つの三角形
ができる。
3. 〈辺の長さの等式に関する証明〉
2)
れぞれに対し、
同
カードを入れる方
り。
よって, 求める確率は
24-3
56-7
← (1) と同様に、番号
てみる。
直角三角形が得られる3点の選び方は,円の直径の両端となる2点
の選び方が通りあり、そのそれぞれについて残りの1頂点の選
び方が (n-2)通りあるから,全部でn(n-2)
通りある。
>
2
すべての場合を
よって、求める確率は
n(n-2)
n(n-2)
2
3
-
„C3
n(n-1)(n-2)
n-1
3.2.1
(2)n個の点から3点を選ぶ方法は全部でC3通りある。
◆直角三角形の直角の頂点は、
斜辺の両端の2点を除く
(n-2) 個。
<三角形の頂点から下ろした垂線を直径とする円と三角
ABC において, 点Aから辺BCに垂線AH を下ろす
AB, AC の交点をそれぞれD,Eとし,円の半径
線分 DB の長さを求めよ。
線分 HC と線分 CA の長さをそれぞれ求めよ。
∠EDHの大きさを求めよ。
え
2
同じならば、
になってい
(3) 12個の点を順に A1, A2, ......., A1と
A
As
する。
As
Asp
12点から3点を選ぶ方法は全部で12C3
通りある。
A10
A4
また,A, が鈍角三角形の1つの頂点で,
All
As
∠A が鋭角となる場合を考える。
A12
A2
AL
A2, As, ......., As の5つの頂点から2つ
の頂点を選ぶ場合と, As,
A9, ....., A2の5つの頂点から2つの
頂点を選ぶ場合がある。
これをAから A12 までの頂点について考えると,同じものが2回
ずつ数えられる。
◆図形の個数を考える場合,
図形の決まり方に注目する。
数学重要問題集 (文系)
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