m(a)
南大)
82次関数の最大・最小 / 定義域が動く場合
5/29
a は定数とする. 関数 y= -3.2+6x+1 (a≦x≦a+2) について,最大値をM (α) 最小値を
(a) とする.M(a), m (a) を求め, 6=M(a),b=m(a) のグラフを ab平面上に (別々に) か
最大・最小となる候補を利用
(類 追手門学院大)
前問は, 定義域が一定区間に決まっていて, 関数の方が変化したが、
本間は, 関数の方が決まっていて、 定義域の方が動く問題である. とは言っても、 前間と同様に解くこ
とができる.ここでは, 前問と違うアプローチを紹介しよう。 (なお、これらの解法は, 関数と定義域が
ともに変化するときも通用する)
左ページの①~⑦のグラフから分かるように, y=d(x-p)+qのグラフが下に凸の場合,
・区間α
における最小値は,
x=が区間内にあれば, 頂点の座標 4
そうでなければ、区間の端点での値f(α), f (B)のうちの小さい方
区間α≦x≦Bにおける最大値は, 区間の端点での値f(α), f(B)のうちの大きい方
である。結局, 「最大値や最小値になる可能性のある点は、頂点と両端点の3つのみ」であるから、
「頂点の座標(頂点が区間内にあるとき), および区間の端点の座標からなる3つのグラフを描い
ておき、最も高いところをたどったものが最大値のグラフ, 最も低いところをたどったものが最小
値のグラフである」
これは,グラフが下に凸な場合のみならず,上に凸な場合についても成り立つ。
解答
座標
に
よくわかんない
f(x)=-32+6+1 とおくと, f (x)=-3(x-1)+4であり,y=f(x)の
グラフは上に凸である. 頂点の座標1 が a≦x≦a+2にあるとき,すなわち
-1≦a≦1 のとき,M (α)=f(1) =4
それ以外のとき,
M(α) =max{f(a), f(a+2)}
つぎに,最小値は定義域の端点で取るから,
m (a) =min{f (a), f(a+2)}/
ここで,f(a)=-3 (α-1)2+4
f(a+2)=-3{ (a+2)-1}2+4=-3(a+1)+4
であるから,b=f(a) b=f(a+2) のグラフは図1のようになる。
よって,b=M(a),b=m(a) のグラフは,図2図3の太線である。
alsa+2により, -1sasl
max (p.g)は,p.gのうちの大
きい方(小さくない方) の値を表
す (min(p, g) はpg のうち
の小さい方(大きくない方) の値
を表す).
一般にb=f(a+2)のグラフは、
b=f(4) のグラフを軸方向に
2だけ平行移動したものである。
(p.32.5.1)
で表され
m(α) はα
きる.
置関係で場
⑤ のケース/
で場合分
けする.
図1
■ の場合分
[0≤a≤2
tb
図2
tb
図3
-b=4
tb
a≤0
12≦a
てもよい。
のa=0, 2
は2つの
) の式で通
. 同じにな
でミスを
ックできる。
注意する。
b=(a+2)
b=f(a)
a
1
1
a
b=-3(a-1)'+4
b=-3(a-1)
b=-3(a+1)
b=-3(a+1)'+4
+4
+4
8 演習題 解答は p.57)
(ア) f(x)=x'+2x+2のa≦x≦a+1 における最大値をM, 最小値をm とする
Mm=1を満たすαの値は [
をとる。
]であり,M-m はα = [
] のとき最小値
(ア) 07.08 のどちら
の解法で解いてもよいだ
(星城大、一部省略)ろう。
188/(2)=12²-2r| Dasrsa+1 (820) 1:33)
またg(g)を最小にするαを求めよ.
(明星大)
(イ) 最大値の候補を活
用しよう.
41
