Question

ひまたん

67-1について教えて欲しいです。
何が違うのでしょうか？

1671 (1) a₁ =1, a₁ = 2 a₁ = 5, a4 = 10
=
=
3
5
a=1, d=2, n-1
bn = 1+ (n-2).2
=2h-3
1+2K-3
K=1
n
1 +22 K-23
14:1
(+½-½ (n+1)-3n
= 1+h²+h-3h
= n²=2n+1
=(n-1)²

(2) Sn = 1 r + 3• r²
□ 67* 自然数の列を次のような群に分け, 第n群には (2n-1) 個の数が入る
ようにする。
1 | 2, 3, 4 | 5, 6, 7, 8, 9 ..
(1) 第n群の最初の項を求めよ。
(2)第n群のすべての項の和を求めよ。
B

Answer 1

✨ Best Answer ✨

かき

a_n は、各群の最初の数の数列ですね。
そして、その階差数列をb_nとおいたのですね。

そこまではよいですが、b_n の式が違ってます。
　b_n = 2n - 1
です。
参考に貼りますね。

また、a_n を求めるのだから、階差数列の和のΣはk=1〜 n-1 です。

それでやれば、できると思います。

ひまたん

第n群の項数が(2n-1)個ということは分かったのですが、それがなぜb_nになるのかが分からないです。
例えば、第2群はb_nは2なのに、項数は3です。
もう1度教えて頂ければ幸いです🙇

かき

逆に質問で申し訳ないですが、ご回答されたb_n はどういう数列でしょうか？
a_n+1 - a_n = b_n の階差数列だと思ったのですが

かき

こう考えたられたんですよネ❓

もう遅いから、明日、ゆっくり見てみてください。
大丈夫ですよ。
わからないとこはとことん聞いてくださいね。わかるまでやりとりしましょ。

かき

なるほど。
ちょと違ってます。

> 階差数列の項数はn-1なので、
ここが違います。
b_n 自体は第n番目の項、という意味です。
a_.n を求めるときに、
　a_n = a_1.+ b_1 + b_2 + .... + b_n-1 … ※
と、いうように、b_n-1 までを足していくというだけです。

なので、b_n 自体は、初項1、公差2の等差数列なので、
　b_n = 1 + (n-1)×2 = 2n-1 (第n番目の項)
となります。

そして、※の式で、a_n を求めればよいのです。Σで表すと
　a_n = a_1 + Σ(k=1〜n-1) b_k
となる分けです。

かき

あ、ちなみに、
　b_n-1 = 2(n-1) - 1 = 2n-3
となります。

かき

すみません、もう遅いので明日でもよいですか？

ひまたん

なるほどです！
b_nは後から絞るから、一旦はどこまで続いてもいいのですね！
納得です✨
ありがとうございました！！

かき

そうですそうです。
イメージつかめましたか？
イメージ掴むのが大事なので。

あとは大丈夫ですか？
明日でもよいですか？ホント眠くなってきたので。すみません🙏

Answer 2

ブドウくん

階差なので足し合わせるのは1からnではなくて1からn-1です。それから自分のノートだから手を抜いているのだと思いますが、もしテストの回答用紙ならば、もう少しきちんと記述しないと減点されますね。

ひまたん

どのようなところが減点されるか教えていただけないでしょうか🙇
真面目に書いているつもりでした。

ブドウくん

全体的に言えることとして、ちゃんと日本語を書いたほうがいいですね。
bnというのがいきなり出てきていますが、これはanという数列の階差数列なんですよね？このanに関しても、勝手にa₁やa₂と書いていますが、問題文にはそんな数列出てきていませんので、自分で定義したものですよね。また、a=1，d=2などと書いていますが、これは階差数列bnの初項と公差ですよね。

私が読み取ろうとしたから伝わりましたが、こういったことはちゃんと日本語で書かないとだめです。「判別式をDとする」「kを定数とする」など、数列に限らずです。

また、階差数列はn=1は別にして、成り立つかを最後確認しないといけなかったですよね。

細かいことなんですが、こういうことをしっかり書かないと、自分では分かったつもり、解けてるつもりでも、他人が見たときに何がなんだかわからない答案になってしまいますので、気をつけましょう！

ひまたん

詳しく教えていただきありがとうございます！
数学は苦手で部分点で稼ぎたいので、きちんと書けるように練習します✨
読み取っていただきありがとうございました！

ブドウくん

あと、よく見たら階差数列は2n-3ではなくて2n-1ですね。

ひまたん

なぜ2n-1になるのか教えていただけませんか？
お願いします🙇

ブドウくん

初項1，公差2の等差数列なので、1+2(n-1)=2n-1となります。これ自体は等差数列の単元で習っていると思います。

ひまたん

各群の最初の項を並べた数列をanとして、その階差数列をbnとします。

例えばなんですけど、anの最大のnの値が5だった時、bnの最大のnの値は4です。
だからbnもbn-1と書くのが適切で、1+2(n-1)も1+2{(n-1)-1}にするべきかと思いました。

どうでしょうか､､､？

ブドウくん

この数列の一般項は何かと問われたら、それはn番目の項が何かを問うてるのだから、1+2(n-1)を計算しなくてはいけません。
それを求めた上でnにn-1を代入したb（n-1）=2n-3を使うならば、シグマはk=2からnになりますが、すごくややこしいことをしています。b(n-1)という数列を考えるということは、b(n)全体を左に1個ずつずらしていることになります。
bnをシグマ1から3まで足すなら
a₁+(b₁+b₂+b₃)=a₄
となるところをb(n-1)を使うなら
シグマ2から4としないと
a₁+(b₁+b₂+b₃)=a₄
にはならないので、シグマの最後は合ったかもしれませんが、最初を2としないといけなくなります。
今の計算においては単にn番目（最後の項）を足さないようにすれば十分なので、シグマで調整した方がよいと思います。