・共通因数がない
・因数定理を考えて
（つまりnに代入して、式の値が0になるものを探して）
そのような有理数がない
→そのまま答にしよう、となります
因数定理のくだりで、代入する値の候補は
±(定数項12の正の約数) / (最高次係数2の正の約数)
です
つまり±1,±2,±3,±4,±6,±12,±1/2,±3/2です
これらのどれを入れても0になりません
有理数だけを使って因数分解するとしたら
候補はそれらしかなく、
それらの代入結果がすべて「0にならない」なら、
有理数の範囲では因数分解できません
無理数も含めた、実数の範囲なら可能性はまだ残りますが、
一般には有理数の範囲で分解すればよいので、
無理数まで調べる必要はありません
代入する候補が多くて大変なので、
少し絞れないか考えてみます
たとえば
2n³-3n²+n+12
= 2n²(n-(3/2)) +n+12
とします
n-(3/2)は、n=3/2,2,3,4,6,12のとき、0以上です
このとき2n²(n-(3/2))は0以上で、+n+12も正です
よって、式の値が0になりません
n=3/2,2,3,4,6,12は一気に消えます
こういうのは、考えるのに時間が少しかかりますが、
候補が大きく絞られれば、総合的にはお得です
つまり±1,±2,±3,±4,±6,±12,±1/2,±3/2です
これらのどれを入れても0になりません
これらを全て2n^3-3n^2+n+12に代入して0にならなければいいのですか？