Question

あ

自力で解けたのは(1)だけで(2)は理解できるのですが、(3)がわかりません。

208
第7章 数
基礎問
134 漸化式の応用
本も1点で交わらないとき,これらの直線によって平面が an個
平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3
の部分に分けられるとする.
(1) 1, 2, as を求めよ.
(2) n本の直線が引いてあり, あらたに (n+1) 本目の直線を引
いたとき,もとのn本の直線と何か所で交わるか.
(3) (2) を利用して, an+1 を an で表せ.
(4) am を求めよ.
精講
まず、設問の意味を正しくとらえないといけません.nが含まれて
いるとわかりにくいので,nに具体的な数字を代入してイメージを
つかむことが大切で,これが(1)です.
(3)が最大のテーマです.「an+1をan で表せ」という要求のときに, 41, 0
as などから様子を探るのも1つの手ですが、それは137以降 (数学的帰納法)に
まかせることにします.ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか
を学習します。
an と an+1 の違いは直線の本数が1本増えることです.
直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが、問題
はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります.
線と n
の半直
(4)
①
1本
よ
(1)
(a1)
解答
(a2)
4
2
(a3)
図より, α=2
図より、
a2=4
図より, α3=7
(2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら
ないので, (n+1) 本目の直線は, それ以前に引いてある本の直線の
すべてと1回ずつ交わっている。よって,n か所で交わる.
演習

209
(3)(2)で考えたように,(n+1)本目の直線はそれ以前に引いてある直
線とnか所で交わり,その交点によって, (n+1) 本日の直線は、2つ
の半直線と (n-1) 個の線分に分割されている (下図).
③
n+1
(n+1) 本目の直線
1本目
2本目3本目
本目
この(n+1)個の半直線と線分の1つによって, いままで1つであ
った平面が2つに分割される.
よって, (n+1) 本目の直線によって, 平面の部分は (n+1) 個増える
ことになる.
.an+1=an+n+1 (n≧1)
(4) n≧2 のとき,
n-1
(4)n≧2
an=a+(k+1)=2+(2+3+...+n)
k=1
階差数列 (123)
=(1+2+…+n)+1=1/21n(n+1)+1=1/2(n+n+2)
これは, n=1のときも含む.
吟味を忘れずに
ポイント漸化式を作るとき, n番目の状態を既知として,(n+1)
番目の状態を考え、 その変化を追う
第7章

漸化式 数学b

Answer 1

ととろ

右ページの図で n+1 本目を足すと
n+1本目の直線はn本の直線と交わり、
1本目と2本目の間に挟まれた平面は2つに分割される
2本目と3本目、3本目と4本目⋯の間に挟まれた平面も全て2つに分割される
n-1本目とn本目の間に挟まれた平面も2つに分割される
これで平面が (n-1)個増えた
さらに1本目の左側とn本目の右側の平面も2つに分割されるので、ここで平面が2個増える
合わせて (n-1)+2 = n+1 個増えた

a[n+1] = a[n] + (n+1)

あ

ありがとうございます。
ノートのようなことであっていますか？💦