全称命題(すべての、任意の〜)の否定とは、その世界(前提条件)全体丸ごとをあらためることではなく、その全称命題を破るような事象をたった1つでもいいから見つけることです。
xが実数のときというのは前提条件です。
またはの否定はかつですが、
今回求められているのは
命題「任意の実数xについてx^2>1⇒x≠1」の否定です。
任意の否定は「ある〜が存在する」や「〜でない(である)ものが少なくとも1つ存在する」です。
例えば
「すべての高校生について、男ならば眼鏡をかけている」
を否定したいとします。
つまり、この命題が間違っていることを示すための反論を用意してほしいのですが、
「高校生以外全員について、女かつ眼鏡をかけていない」ではないか、と叫んでも何も意味がありません。
すべての高校生についての反例を用意するならそれ以外全員の話をしなくてもいいし、高校生以外の話をするのはそもそも論点がずれてしまい意味がありません。
「高校生の中には男でメガネをかけていない人が少なくとも一人いる」
と言えばいいのです。
全ての実数の話を否定したいのに、「実数じゃなくて虚数の世界ではね…」なんて言っても、だからなんだ？関係ないだろ、実数で話してるんだからと言われて終わるだけです。
「任意の実数について、x^2>1ならばx≠1」
の否定は
「x^2>1でありx=1となるような実数xが存在する」です。
その本の解説がとても突き放したように感じて、説明不足に思えるのは、そうとしか言いようがない数学を構築する根源的な部分に触れているため、高校数学の範疇を逸脱してしまい、本気でやろうとしたら高校3年間では多分足りないからだと思いましょう。
かくいう私もよくわかっていないと自覚しています。
それくらい難しいです。
一応、前提条件だから否定されないわけではなく、結果として元に戻っていることを示したおまけを書いておきます。
任意の実数xについて、x^2>1ならばx≠1
とは
任意の実数xについて、x^2≦1またはx≠1
と同じです。(こんなの意味わかりませんよね。)
これを否定すると
ある実数xについて、x^2>1かつx=1が成立する。
となります。
結構ノイズ排除し、「前提条件は変わりません」という誤魔化しも取り除いてみるとこんな感じになります。
ちなみに、前提条件は否定しても変わらないのはなぜだという気持ち悪さはおそらく誰しも持ちますし、これは一階述語論理(現行の数学のルール)を我々一般人になんとか納得させるための方便なので
『「サッカーは手を使わない」に納得しているのと同じ』
として認めるか、どうしても気持ち悪さが拭えないのであれば、論理の本で大学受験用の参考書ですが「数学の真髄-論理・写像-」あたりは比較的読みやすい(簡単という意味ではありませんが)ので試してみるのもありです。