Question

シカ

全く分かりません。
解き方など詳しく教えてください。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

きらうる

∠AOP=θ　と置くと
弧AP=2a×θ/2＝aθ
また△AOPの余弦定理から、
AP²=a²+a²-2a²cosθ
　　=2a²(1-cosθ)
半角の公式から、
　　=2a²(2sin²(θ/2))
　　=4a²sin²(θ/2)
AP=2a×sin(θ/2)

∠AOP=θ　なので、円周角の定理と接弦定理から
∠PAQ=θ/2

△APQの余弦定理から
PQ²=AP²+AQ²-2AP×AQ×cos(θ/2)
　　=2AP²-2AP²×cos(θ/2)
　　=2AP²(1-cos(θ/2))
　　=2AP²(2sin²(θ/4))
　　=4AP²×sin²(θ/4)
PQ=2AP×sin(θ/4)　APを代入して
　=4a×sin(θ/2)×sin(θ/4)

PQ/弧AP²
=(4a×sin(θ/2)×sin(θ/4))/(aθ)²
=4a/8a²　×　sin(θ/2)/(θ/2)　×　sin(θ/4)/(θ/4)
θ→0に近づけていくと、sin(θ/2)/(θ/2)とsin(θ/4)/(θ/4)は1なので、
PQ/弧AP²の極限＝1/2a