解と係数の関係のところだと思いますので、それに沿って解いていきます。
x²-2kx+k+2=0
2つの解をα,βとすると、α+β=2k,αβ=k+2
(1)異なる2つの負の解になる⇒判別式>0,α+β<0,αβ>0
D/4=k²-(k+2)>0
→ (k+1)(k-2)>0
→ k<-1,2<k…①
α+β=2k<0
→ k<0…②
αβ=k+2>0
→ k>-2…③
①②③をすべて合わせて、
-2<k<-1
(2)
異符号の解→αβ<0 これだけで良いです
αβ=k+2<0
→ k<-2
