⑴2乗を外して考えると、
{a[n]}:1,4,7,10.13,… の等差数列で、
a[n]=1+(n-1)•3= 3n-2だから
求める一般項は(3n-2)²
Σ(3n-2)²=Σ(9n²-12n+4)
=9Σn²-12Σn+Σ4
=9•1/6n(n+1)(2n+1)-12•1/2n(n+1)+4n
=1/2n(6n²-3n-1)
⑵2•3², 4•4² , 6•5² , 8•6² , 10•7²… の数列を
(左側){a[n]}: 2 , 4 , 6 , 8 ,10…
(右側){b[n]}: 3²,4²,5²,6²,7²…
に分けて考えると
a[n]=2+(n-1)•2=2n
b[n]={3+(n-1)•1}²=(n+2)² だから
求める一般項は 2n(n+2)²
Σ2n(n+2)²=Σ(2n³+8n²+8n)
=2Σn³+8Σn²+8Σn
=2•{1/2n(n+1)}²+8•1/6n(n+1)(2n+1)+8•1/2n(n+1)
=n(n+1){2•1/4n(n+1)+4/3(2n+1)+4}
=n(n+1)•1/6{3(n²+n)+8(2n+1)+24}
=1/6n(n+1)(3n²+19n+32)
⑶{a[n]}1 , 1+2 , 1+2+4 , 1+2+4+8 , 1+2+4+8+16…
数列{a[n]}の階差数列を{b[n]}とすると
{b[n]}: 2, 4, 8, 16…
b[n]=2+(n-1)•2=2n
元の数列は n-1
n≧2のとき a[n]=a₁+ Σ 2k
=1+2•1/2(n-1)n
=n²-n+1…①
①はn=1のときも成り立つので
求める一般項は a[n]=n²-n+1
Σ(n²-n+1)=Σn²-Σn+Σ1
=1/6n(n+1)(2n+1)-1/2n(n+1)+n
=1/3n(n²+2)
