Question

Haruka

34の②がわかる方はいらっしゃいますか？

1 年生 冬休みの和宿題  特製プリント

34|

 

直角三角形 ABCは, 2C が直角で, 各辺の長さは整数であるとす:

素数 かヵであるとき
① 辺 AB, CAの長さをか を用いて表せ.
@ tanZA は整数にならないことを示せ.

る. 辺 BC の長さが 3以上の

Answer 1

チャート

(1)AB=m、CA=n (m、nはm>n>0を満たす整数)とお
くと、三平方の定理より、
m^2 −n^2 = p^2
(m+n)(m−n) = p^2

m+n、m−nは整数で、m+n > m−n、pは素数なの
で、m+n = p^2、m−n = 1
これを解いて、m= (p^2+1)/2、n= (p^2−1)/2
つまり、AB= (p^2+1)/2、CA= (p^2−1)/2

(2)tanA= BC/CA = 2p/(p^2−1)
BC>0、CA>0であることを考慮すると、
tanAが整数であれば、tanA≧1となるので、
2p ≧ (p^2−1) を満たすことが必要である。

このpについての2次方程式を解くと、
1−√2 ≦ p ≦ 1+√2
これを満たす素数pの値は、p=2 のみである。

p=2のとき、tanA = 2×2 / (2^2 −1) = 4/3
これは整数ではない。
よって、tanAは任意のpに対して整数にならない。

間違ってたらすみません。わかりにくいところが
あれば聞いてください。

Haruka

3≦p(pは素数)なのですが、説明の最後の3行は入れるべきですか…？

チャート

そうですね。条件を見落としてました。
最後の3行は不要ですね。

Answer 2

ジョン・スミス

こんなんでどうでしょうか