高校物理の単振動をやっていれば、わかります。
物理では、sinkxはsinωtと書かれています。
周期をTとすると、2π＝ωT から T＝2π/ω
数学の問題では、ω→kと書かれているので、周期T＝2π/k となります。
詳しく知りたかったら、高校物理の等速円運動もやってみるといいと思います。
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kが┃k┃になっているのは、正の周期を求めるからです。