(3)の問題で、解答の下から4行目の『よって〜』の部分から何故そうなるのかが

Mathematics

Senior High

Resolved

over 7 yearsago

(3)の問題で、解答の下から4行目の『よって〜』の部分から何故そうなるのかが分かりません。
詳しく教えて頂けたら助かります😭
お願いします🙏🏻

ョ EX 。() 2のgy+19242ケー102g を因数分解せよ。 @74 (2 Illl を素因数分解せよ。 (3) 素数のに対して, 2がの19がケー1079ケー111111 が成り立つとき, 7, の, ァの値を求めよ。っ [原上箇和 (1) 2がの19の7のケー10777ーカg7(27"二19一109?) ぐまず, 共通因数 gyでニカgz(ヵ10g)(2のーの E (⑫) 111111=3・7・11・13・37 ぐ111111 110000+1100 +11 (3) (0), (⑰の結果から。等式はの 27(⑰10g)(29-の=9.7.11.13・37 … ① eo ののは素数(自然数)であるから。3, 7 11, 13。 37 のいず | jm)nmmm れかであり, /十10g は自然数である。 3) 10101 ゆえに, ①より 2ヵ一9=テ1 7) 3367 ここで, 2ヵーg=1 であるとすると, これを満たすのはヵ=7、 | "ルー時 13 のときだけである。このとき, ヵ二10g三137 となり, ① を満たさない。 137 は 111111 の因数よって, 2のー9は3, 7, 11, 19, 37 のいずれかであり, 更に」 | に含まれない< の107=7十10・3ニ37 であるからヵ+10g=37 これを満たすのはカニ7,g9ニ3 このとき, 2ヵーg王11 であるからァ三13

数a 素数

Answers

✨ Best Answer ✨

伊達ヤマダ

over 7 yearsago

111111は(3,7,11,13,37)の5つの素数の因数を持ち、そのうちの3つがp,q,rの値となる。よって残った2つのそれぞれの素数、あるいは1と２つの素数の積が2p-q,p+10qのそれぞれの値となる。
ここで2p-q≠1から、2p-q,p+10qには上記の5つの素数のいずれかの値がそのまま当てはまることになる。
さらにp+10qが最小値を取るのは、

(p,q)=(7,3)

の時であるので、

(p+10q)min=7+10×3=37

これが上記の5つの素数のうちの最大である37に等しくなるので、p+10qが取り得る値は37のみである。
この時、2p-q=14-3=11より、残った素数3がrの値となる。

guest over 7 yearsago

ごめんなさい🙇💦
上から2行目の『残った2つのそれぞれの素数』とは何ですか？
教えてください😅

伊達ヤマダ over 7 yearsago

p,q,rは全て素数かつ、

pqr(2p-q)(p+10q)=111111=3×7×11×13×37

から、p,q,rのそれぞれに (3,7,11,13,37) のいずれかの素数が１つづつ当てはまるため、
2p-q,q+10qに当てはまる分の素数が2つ残る

というのが残った2つの素数という意味です。

guest over 7 yearsago

ありがとうございます😭
ごめんなさいもう一つ質問なんですけど、何故『p+10q』の最小値をとるのですか？

しつこくて本当に申し訳ないです😓
お願いします🙇🏻‍♂️

伊達ヤマダ over 7 yearsago

p+10qの最小値をとるのは、簡潔に言えばそれがp,q.rの値を求める上で一番早いからです。

この時点で 2p-q≠1が分かっているので、(p,q,r,2p-1,p+10q)がそれぞれ(3,7,11,13,37)のいずれかの値をとることになります。ただこれ以上は問題文や条件から新たな等式を作ることはできないので、それぞれにどの素数が入るかは手探りで求めなければいけません。

まずpに3をいれてqには7を入れて…とやっていたら膨大な時間がかかってしまうため、p+10qの最小値をとりあえず求めてみたら37しか入らないことが偶然にも分かった！ラッキー！

っといったもんで、この段階でわざわざp+10qの最小値を求めなければいけない数学的な理由は全くありません。たまたまそうするのが一番早く済むってだけです。

ただp+10qが取り得る値の範囲を求めること自体は悪い手ではありません。この手の問題では取り得る値の範囲を求めることで解答を進めて行けることが多いので、手詰まったときにこういうことをすると打開策が生まれることもあるというのは覚えてもらいたいです。