Question

キノピオ

チャレンジ問題
東大 数III
正解したらフォロー ！

のときの極限を調べよ.

   

(東京大)

Answer 1

✨ Best Answer ✨

ゲスト

f'(x)=(sinx-xcosx)/sin²x-sinx
=(sinx-xcosx-sin³x)/sin²x
={(1-sin²x)sinx-xcosx}/sin²x
=(sinxcos²x-xcosx)/sin²x
=(2sinxcosx-2x)cosx/2sin²x
=(sin2x-2x)cosx/2sin²x
分母は常に正であるから、f'(x)の正負は分子で決まる。
sin2xと2xの正負の変化を調べる。
g(x)=sin2x-2xとしたとき、
g'(x)=2cos2x-2
0<x<πにおいて、-2≦2cos2x<2なのでg(x)は単調減少であり、また、x=0,πにおいて2cos2xは最大値2をとるので、g(x)は0<x<πにおいて常に負。
cosxはx=π/2において正負がかわる。
よって、f'(x)<0(0<x<π/2), f'(x)≧0(π/2≦x<π)
これをもとに増減表を書く。

lim(x→0)x/sinx=1, lim(x→0)cosx=1より、
lim(x→0)f(x)=1+1=2
lim(x→π-0)f(x)=+∞-1=∞

Answer 2

ほしの

この問題は、いかに議論を進めるかを問うている気がします。一言一言に気を配ってみては如何でしょうか

裏紙で見づらくてすみません。

注:接線による評価
一次式と他の関数(三角関数、指数関数、対数関数)
について、以下:
sin(x)<x<tanx (0<x<π)
log(x+1)<x<e^x-1 (x>0)
が成り立つ。

Answer 3

ネコ好き男

こんな感じだと思います。東大の中でも結構簡単だったので何か見落としてるかもしれませんが悪しからず
あとフォローいらないです