Question

あゆみ

この問題の答えを教えてください！

円(x+2)^2+y^2=4と直線y=-x+mが共有点を持たないとき、定数mの値の範囲を求めよ。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

にゃんこ

答えだけ教えてと言われても、そんないじわるなことできないので回答例ですが、参考になれたら幸いです。

設問文の言っていることを解釈すると、
円周上のある点において、接線の傾きが-1になる点を見つけ、その接線を直線y=-x+mとすると共有点を持ってしまうが、ギリ共有点を持たないときのmの範囲をもとめる。

ひとまず、
円(x+2)²+y²=4をxについて微分する

(x+2)²+y²=4
x²+4x+4+y²=4
y²=-x²-4x
y=√(-x²-4x)

u=-x²-4xと置換
y'=(u^1/2)'*(-x²-4x)'
=｛(1/2)*u^(-1/2)｝*(-2x-4)
uを元に戻して、
y'=(-x-2)/√(-x²-4x)

y'=-1になる(その点における接線の傾きが-1)
xの値(x座標)を求める。

y'=-1より、
-1=(-x-2)/√(-x²-4x)
√(-x²-4x)=x+2
-x²-4x=x²+4x+4
2x²+8x+4=0
x²+4x+2=0
解の公式を使って、
x=-2±√2
だが、式に代入してみると、x=-2-√2は不適切解の為
x=-2+√2

また、x=-2+√2のときのyの値(y座標)を求める。

y=√(-x²-4x)
=√｛-(-2+√2)²-4(-2+√2)｝
=√｛-(2-4√2+4)+8-4√2｝
=√2

以上より円(x+2)²+y²=4の円周上の点における接線の傾きが-1になるときのx座標,y座標は、

(-2+√2,√2)

この点を通り、傾きが-1に等しい直線の方程式は、

y-√2=-｛x-(-2+√2)｝
y=-x+(-2+2√2)

よって、円と直線が共有点を持つときのmの値は、

m=-2+2√2

共有点を持たないときのmの範囲は、

m＞-2+√2

あゆみ

お手数お掛けしました。ありがとうございます！

にゃんこ

おはようございます。

昨日回答させていただいた問題について、
計算上では問題なかったのですが、
図形的に考えると問題があることがわかりました。

x=-2-√2は不適切解と言いましたが、
y=の式に代入してみると、

y=√(-x²-4x)
=√｛-(-2-√2)²-4(-2-√2)｝
式的におかしいですが、図形的にはセーフ。
=-√2

よって、
(-2-√2,-√2)
を通り、傾きが-1の直線は、

y-(-√2)=-｛x-(-2-√2)｝
y=-x-(2+2√2)

よって、円と直線が共有点を持つときのmの値は

m=-(2+2√2)

共有点を持たないときのmの範囲は、

m＜-(2+2√2)

も含みます。