Question

あゆみ

円(x+1)^2+y^2=4と直線y=-x+mが共有点を持たないとき、定数mの値の範囲を求めよ。

この解き方を分かる方教えてください。

Answer 1

✨ Best Answer ✨

なお

まあつまるところ、その2つを連立したものが解を持たないような範囲を求めるだけです。

あゆみ

ありがとうございます

なお

その解答は多分センスないです。

なお

ふつうにyについて代入して判別式でしょう。

にゃんこ

回答遅れました。合っている自信あります。

設問文の言っていることを解釈すると、
円周上のある点において、接線の傾きが-1になる点を見つけ、その接線を直線y=-x+mとすると共有点を持ってしまうが、ギリ共有点を持たないときのmの範囲をもとめる。

ひとまず、
円(x+2)²+y²=4をxについて微分する

(x+2)²+y²=4
x²+4x+4+y²=4
y²=-x²-4x
y=±√(-x²-4x)

u=-x²-4xと置換
y'=±(u^1/2)'*(-x²-4x)'
=±｛(1/2)*u^(-1/2)｝*(-2x-4)
uを元に戻して、
y'=±(-x-2)/√(-x²-4x)

y'=-1になる(その点における接線の傾きが-1)
xの値(x座標)を求める。

y'=-1より、
-1=±(-x-2)/√(-x²-4x)
√(-x²-4x)=±(x+2)
-x²-4x=x²+4x+4
2x²+8x+4=0
x²+4x+2=0
解の公式を使って、
x₁=-2+√2 ー①
x₂=-2-√2 ー②

また、x₁=-2+√2、x₂=-2-√2のときのyの値(y座標)を求める。

y=±√(-x²-4x)

①
y₁=√(-x²-4x)
=√｛-(-2+√2)²-4(-2+√2)｝
=√｛-(2-4√2+4)+8-4√2｝
=√2

②
y₂=-√(-x²-4x)
=-√｛-(-2-√2)²-4(-2-√2)｝
=-√｛-(2+4√2+4)+8+4√2｝
=-√2

以上より円(x+2)²+y²=4の円周上の点における接線の傾きが-1になるときのx座標,y座標は、

(-2+√2,√2) ー①

(-2-√2,-√2) ー②

この点を通り、傾きが-1に等しい直線の方程式は、

①
y-√2=-｛x-(-2+√2)｝
y₁=-x+(-2+2√2)

②
y-(-√2)=-｛x-(-2-√2)｝
y₂=-x-(2+2√2)

よって、円と直線が共有点を持つときのmの値は

①
m=-2+2√2

②
m=-(2+2√2)

共有点を持たないときのmの範囲は、

①
m＞-2+2√2

②
m＜-(2+2√2)

以前もこの質問にお答えしましたが少し計算ミス等がありましたので、改文して回答しました。わからないところがありましたら、再度質問お願いします。

なお

間違ってます。

なお

こんな感じですね。上の人の解答は円の式がそもそも違っていて参考になりません。

にゃんこ

円の方程式間違ってました
混乱させてすみません

たしかにベスアンの人が言う通り連立して判別式を用いて解いた方が早くて計算ミスも少ないように思います