Question

ひかり

αの特性って数学的に証明できますか？ネットで検索してもイマイチ分からなかったので、簡単な言葉で説明お願いします🙇‍♂️

2ュー カの。十の  (ヵキ1)
の形の尊化式は

と 変形でき る。  このeoを特性
解という。

数列

Answer 1

LUX SIT

αをどうして導入したのか分かっていますか?

a[n+1]=p*a[n]+q (*)
のままでは解きにくいので, 等比数列の形にしたい.
そこで適当なαを選べば
a[n+1]-α=p*(a[n]-α) (**)
とすることが出来て, さらにb[n]=a[n]-αと置き換えれば
b[n+1]=p*b[n]
となって確かに等比数列です.

これから一般項は
b[n]=p^(n-1)*b[1]⇔a[n]-α=p^(n-1)*(a[1]-α)⇔a[n]=α+p^(n-1)*(a[1]-α)
と求めることが出来ます.

さてαですが(*)と(**)は恒等式なので
q=α-p*α=(1-p)α⇔α=q/(1-p) [p=1の時は等差数列. 別途場合分けが必要になるわけです.]
とすればいいことが分かりました.
***
分からないときはとりあえずネットで検索するのではなく, まずは試行錯誤しながら式を弄る努力をしましょう.

ひかり

的確なアドバイスをありがとうございます。αの特性を根本的なことから理解することが出来ました。今度からアドバイスして頂いたように、自分で試行錯誤をしてみます！