Question

ひよこ

関数f(x)=x^3-3a^2x(0≦x≦1)で、1≦aのとき、なんで0<x<1でf’(x)<0になるんですか？

Answer 1

LUX SIT

f'(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a)
a>0だと関数f(x)は
x<-a -> f'(x)>0 単調増加
x=-a -> 極大値f(-a)
-a<x<a -> f'(x)<0 単調減少
x=a -> 極小値f(a)
x>a -> f'(x)>0 単調増加
のように振舞います.
a≧1だと-1<x<1でf'(x)<0.
定義域が0≦x≦1なので0<x<1でf'(x)<0になります.
x=0が除かれるのは端点だけでは微分が定義できない[2点があって増加・減少が分かる]からです.