Question

ゲスト

複素数平面において、単位円周上の点をP(z)とすると、１/２ ×(z+zバー)が２点ー１から１を結ぶ線分となるのはなぜですか？

数学ⅲ 複素数平面

Answer 1

LUX SIT

P(z)は|z|=1なのでz=cosθ+isinθ[0≦θ<2π]と表せます.
その共役複素数はz*[共役を*で表します.]=cosθ-isinθなので(z+z*)/2=cosθ[虚部がないので実軸上にあることが分かる].
0≦θ<2πなのでcosθは-1から1まで動きます. したがって-1から1を結ぶ線分になります.
***
図形的にはz*は実軸に関してzと対称な点です. (z+z*)/2はzとz*の垂直二等分線なので実軸です.
あとはP(z)の実軸への垂線の足がどのような範囲を動くか考えれば, それが-1から1を結ぶ線分なのは納得できるでしょう.

ゲスト

回答していただきありがとうございます