Question

桃太郎

対偶を用いた証明です。
これは解答なのですが、なぜ｢整数ｎが5の倍数でないならば、nの２乗は5の倍数でない｣を証明するのにn±1とn±2で場合分けをするのでしょうか。
よろしくお願いします。

軒 "っ2の|                                                 ーー
人      330. この命十の対偶「整数んが5の倍数でないならば, がは5の| |

の人     倍数でない」を証明すればよい。
聞     ヵが5 の倍数でないとき, ヵ は整才んを用いて.

は,
(i) ヵデ5を寺1 のとき,

ゲー(5土1)*ー25土10を1
5(5だ土2を)十1 (複号同順)          |
となり, 5だ土2 は整数であるから, ZZ は 5 の倍致でない。 |
伸 ヵ王5を土2 のとき,
三(5ん2)*ー25だ土20を4
5(5太土4の)十4 (複号同順)
となり, 5だ士4を は整数であるから, 7 は 5 の倍数でない。
したがって, (ji), (0より, いずれの場合も ゲ は 5 の悟数でない。
ょよって, 対偶が証明されたので, もとの谷題も成り立つ。 MA

対偶 証明

Answer 1

✨ Best Answer ✨

すけ

5の倍数ではないということは5で割ると余りが出ます。
つまり余りが1,2,3,4の時を考えています。
余り1だと5k+1
余り2だと5k+2
余り3のときは5の倍数に2足りない数と見て、5k-2
余り4のときは5の倍数に1足りない数と見て、5k-1
です。

桃太郎

ありがとうございました！

Answer 2

せみふらい

整数は全て整数kを用いて5k、5k±1、5k±2と表せます(ここの±1、2は自然数を5で割った時の余りを表してます)。nを5で割った時の余りが±1の時と余りが±2の時では数字が異なるので場合分けしてそれぞれ証明する必要があるのです

桃太郎

ありがとうございました！