Question

鳳(アゲハ)

(2)の解き方教えてください🙏
答えはy=3X-4です

2はーーZm 136 光の導線の方程式を求めよ。
放 V(J) 曲線 yニータ"十4ヶ十1 の, 傾き2の接線
ソ/(② 曲線 ッーー2 に県 (0 一4) から引いた拉
ポイント@ まず, 接点のァ座棟を求める。

(2) 接点(g。のダー2) における接線が点 (0 三
Zの値を求める。           『  9を

Answer 1

LUX SIT

かつて接点tというFlashが巷で流行しましたが, この問題はその系統です.
***
(2)　曲線y=x^3-2上の点(t, t^3-2)における接線は[接点を設定し, 一般の接線を表示する.],
y'=3x^2なのでy=3t^2(x-t)+(t^3-2)=3t^2x-2t^3-2と書くことが出来る[傾きがaで点(p,q)を通る直線はy=a(x-p)+qでしたね].
この接線が点(0,-4)を通るためには-4=-2t^3-2⇔t^3-1=0⇔(t-1)(t^2+t+1)=0⇔t=1[tはx座標なので実数です.]であればよい.
したがって求めるべき接線の方程式はy=3x-4[y=3t^2x-2t^3-2にt=1を代入する]である.
***
もし微分法を知らないのでしたら
点(0.-4)を通る直線はx=-4, もしくはy=ax-4と表せる.　ここでx=-4は明らかにy=x^3-2に接しないから除外できる.
y=x^3-2とy=ax-4がx=tで接するならば実数uを用いてx^3-2-(ax-4)=(x-t)^2(x-u)[接点は重解, uはもう一つの交点]と書けるはずである.
x^3-ax+2=(x^2-2tx+t^2)(x-u)
⇔x^3-ax+2=x^3-(2t+u)x^2+(t^2+2tu)x-t^2u
⇔(2t+u)x^2-{t(t+2u)+a}x+t^2u+2=0 [xについての恒等式]
これが任意のxについて成り立つためには
2t+u=0かつ-t(t+2u)=a, t^2u=-2
でなくてはならない.
u=-2tからt^2(-2t)=-2⇔t^3-1=0⇔(t-1)(t^2+t+1)=0⇔t=1, u=-2
またa=-t(t+2u)=-1(1+2(-2))=3.
以上より求めるべき接線の方程式はy=3x-4である.

LUX SIT

[訂正]
点(0.-4)を通る直線はx=0, もしくはy=ax-4と表せる.　ここでx=0は明らかにy=x^3-2に接しないから除外できる.