題意を示すためには
(左辺)−(右辺)＝f(x)とおいて
x>0の範囲でf(x)>0であることを示すことが目的です
(頭の中で三回復唱してね)
とりあえず
f(x)がどんな振る舞いをするか分かりやすくなるように微分しましょうか。
すると
f'(x)=e^x−1となりました。この式でx=0を代入すると
f'(0)＝0ですね、x>の範囲で考えていますから
f'(x)>0 つまりf(x)は単調増加していると分かります。
単調増加とは"常に関数の値は増えている"ことを意味しますよね？
頭の中で右肩あがりのグラフを想像してください
f(x)もそのような右肩あがりの、前の値より必ず大きな値をとるそんなグラフだったということです
このことを頭にいれた状態で
私たちの求めたかったことは
しつこいようですが
x>0の範囲でf(x)>0であることを示すことです。
f(x)のx>0の範囲で一番小さい所はどこでしょうか？
それは
x=0の時ですね(厳密に言えばx>0なので0に限りなく近い正の数です)
だって単調増加だもん！
f(0)の値は0でした
つまりf(x)はx>0の範囲で0より小さくなることはありません
なぜならf(x)は単調増加しているからです
f(x)>0
を示す場合
f(x)が単調増加であることを示し
f(x)でもっともヤバイ点(小さい値)でf(x)=0であるから
f(x)>0となる
みたいな流れの証明は
時々聞かれます
(分かりにくかったら紙に書くから言ってね)
f'(x)>0の場合を 狭義の単調増加といい
f'(x)≧0の場合を 広義の単調増加というらしいです
x=0で f'(x)=0なので確かに
x≧0なら f'(x)≧0ですね
この場合でもf(x)は増加するか変化しないかで、少なくとも減少することはないので
f(x)>0は満たせそうです
つまりどっちでも良いってことですね
ただ
今回の問題では
x>0の範囲で考えているから
x≧0なら f'(x)≧0でなくて
x>0ならf'(x)>0書く方が自然な気はします
(なんで範囲でもないのにわざわざ、書くの？って私は思っちゃいました。)
答えというより私の文句みたいになってしまった、、
わざわざすみません、ありがとうございます🙇
＝をつけた授業の担当の先生に聞いてみます
f(x)が必ず正でなければならなくて、単調増加というのがわかっているからx＝0の時点で0以上であればx＞0の全ての値でf(x)が正になることが分かるから必要みたいです。x＝限りなく0に近い性の値のときが分からなければ始点②の可能性もあるけど、それだとAが成り立たないからダメだよねって話みたいです！説明下手ですみません💦
ありがとうございました！
わかりやすかったです。ありがとうございます🙇
でもひとつだけ分からなくて、
よって、x≧0のとき、とありますが、x＞0ではなく＝がついているのはどうしてですか？