整数を3で割ると、余りは0（＝割り切れる）か1か2にしかならないからです。余りが割る数を超えることはありません。
整数を3で割ると3kになるのではなく、整数を3で割った数を3kを使って表しているということです。ごめんなさい、わかりにくいですね。
例えば
1÷3＝0あまり1
2÷3＝0あまり2
3÷3＝1あまり0
4÷3=1あまり1
5÷3=1あまり2
6÷3＝2あまり0
みたいな感じで、整数を3で割ると余りは0か1か2になりますよね。すると、整数は
•3で割ると割り切れるもの（つまり3k）
•3で割ると余りが1になるもの（つまり3k＋1）
•3で割ると余りが2になるもの（つまり3k＋2）
の三種類に分けられるので、整数を3で割った余りで分類すると、3k、3k＋1、3k＋2で表せるということです。
整数を割るとなんで3分のkじゃなくて3kになるのですか？