Question

まろん

至急解説お願いします！！！
証明の始め方さえ分かりません...。

ii 還27276に(73旨203和30)
で定まる数列 {Z。}) について, 以下の問いに答えよ.
(1) すべての自然数 ヵ に対して, 6, は奇数であることを示せ.
(2) の,が3 の倍数であるならば, oi は 3 の倍数でないことを示せ.

証明

Answer 1

✨ Best Answer ✨

jun

(1)は帰納法を用います。
a_1=1=(奇数)

n=1の時a_2=1×1+1^2+1=3=(奇数)

n=kのときa_k=2m+1(k,m:自然数)が成り立つとすると
a_k+1=k(2m+1)+k^2+1
=k(2m+1+k)+1
kと2m+1+kは偶奇不一致なので積は偶数となる。
よってa_k+1は奇数

ゆえにすべてのnについてa_nは奇数である。

(2)a_n=3kと仮定する。(k:自然数)
a_n+1=3kn+n^2+1

ここですべてのnは3m-2,3m-1,3mのいずれかで表される(m:自然数)ことに注意すると、

n=3m-2のとき、割愛 n^2+1は3の倍数にならない

n=3m-1のとき、割愛

n=3mのとき、割愛

ゆえにn^2+1は3の倍数にならない
ゆえに3knとn^2+1は3を共通因数に持たないので3kn+n^2+1は3の倍数にならない
よってa_n+1は3の倍数でない

まろん

ありがとうございます！