Question

みどり

(1)がわかりません💦

31 2を正の実数とし, xy平面上の放物線 ッ=を をC, 直線 ッニox十g一2
をとする。

(1) 直線/が放物線Cに接するとき, 4の値と。 そのときの接点の座標を求め
よ。

(2) Cと2が 一3く<ァ*く6 において 2 個の共有点をもつとき, 。のとり得る値の
範胃を求めよ。                             〔類 15 関西学院大]

Answer 1

✨ Best Answer ✨

LUX SIT

どちらも重要な解き方です.
***
[解1] 方程式の解の問題として考える
直線ℓが放物線Cに接しているならば, その共有点のx座標は1つです.
すなわちxについての2次方程式x^2/3=ax+(a-2)⇔x^2-3ax-3(a-2)=0は重解をもちます.
これは判別式D=(-3a)^2-4*{-3(a-2)}=0⇔3a^2+4a-8=0であることと同値です.
aは正の実数なのでa=2(√7-1)/3 [解のうち正のものを選ぶ]と決まります.
接点のx座標はx=3a/2 [平方完成して()の外は0]=(√7-1),
y座標はy=(3a/2)^2/3=(√7-1)^2/3=(8-2√7)/3と求まりました.
以上をまとめるとaの値は2(√7-1)/3で, その時の接点の座標は(√7-1, (8-2√7)/3)であることが分かりました.
***
[解2] (微分を知っていれば)接点を設定することで曲線の接線を表せる.
接点の座標を(t, t^2/3)[放物線C上にあります]とすると, 接線の方程式は
y=(2t/3)[微分係数](x-t)+t^2/3 [x=tのとき, t^2/3になってます.]で表せます.
これがy=ax+a-2と一致しているからa=2t/3, a-2=-t(2t/3)+t^2/3=-t^2/3
これからtについての2次方程式(2t/3)-2=-t^2/3⇔t^2+2t-6=0を得ます.
aは正の実数ならばa=2t/3からtも正の実数である必要があります. このことに注意すると
t=√7-1, a=2t/3=2(√7-1)/3, t^2/3=(8-2√7)/3
とそれぞれ求まります.
結果をまとめると, aの値は2(√7-1)/3で, その時の接点の座標は(√7-1, (8-2√7)/3)です.
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[ノート]
直線ℓ: y=ax+a-2=a(x+1)-2は, x=-1を除く点(-1, -2)を通るすべての直線です.
円や楕円との接線を考える場合は図形の性質を使うので, この考え方が重要になります.

みどり

丁寧に解説してくださってありがとうございます！！
わかりました！！