よくある例文を使って説明すると
Would you mind opening the door?
窓を開けてくれませんか？
(あなたは窓を開けることを気にしますか？)
この文はmindとopeningの動作主はどちらもyouです
Would you mind my opening the door?
窓を空けても良いですか？
(あなたは私が窓を開けることを気にしますか？)
この文はmindの動作主はyouですが
openingの動作主は私です。
このように動名詞の動作主が主語と一致しない場合、動名詞の動作主を動名詞の前に置く必要があります。
その時に、この文であれば「私」は所有格もしくは目的格にします。この文では所有格myにしていますが、目的格meでも大丈夫です。
また「私」のような代名詞ではなく、普通の名詞例えばですが「Ken」の場合は、「Ken's」のように目的語にするか、「Ken」のようにそのまま動名詞の前に置きます。
こんな感じでしょうか
