✨ Best Answer ✨
解答は5*3+7*(-2)=1からx=3, y=-2が整数解としています.
これは手探りで探したものです. もちろん他の解もあります.
一般解の求め方は
5x+7y=1から5*3+7*(-2)=1[これは他の解の場合でもいいです]を引くと
5(x-3)+7(y+2)=0⇔5(x-3)=-7(y+2)
ここで5と7は互いに素なので, x-3は7の倍数であることが分かります.
そこで適当な整数ℓを用いてx-3=7ℓ⇔x=7ℓ+3と書くことが出来ます.
このとき5*7ℓ=-7(y+2)[x=7ℓ+3を代入]⇔y+2=-5ℓ⇔y=-5ℓ-2と求まります.
以上から任意の整数ℓに対してx=7ℓ+3, y=-5ℓ-2となる組はすべて5x+7y=1を満たすことが分かりました.
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たとえばℓ=0だとx=3, y=-2で解答例のものになります.
ℓ=1だとx=10, y=-7, ℓ=-1だとx=-4, y=3のように無数に答えはあります.
ソランさんの答えがx=7ℓ+3, y=-5ℓ-2の形で表されるどれかであれば正解です.
ありがとうございます！
助かりました！
[追加]
問題を5x+7y=1と勘違いして, 最後のステップが抜けていました[これも特殊解を求めるための大事な考え方です].
最終的には5x+7y=3の解を求めたかったわけですが, 5x+7y=1の両辺を3倍すると5(3x)+7(3y)=3.
つまり5x+7y=1の解を3倍したものも5x+7y=3の解になっています. そこでx=3*3=9, y=-2*3=-6としています.
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一般解は同様にして
5x+7y=3から5*9+7*(-6)=3を引くことで5(x-9)+7(y+6)=0⇔5(x-9)=-7(y+6).
5と7は互いに素だからx-9は7の倍数である. したがって適当な整数ℓをとってx=7ℓ+9と表せる.
このとき5*7ℓ=-7(y+6)⇔y=-5ℓ-6で, 任意の整数ℓに対してx=7ℓ+9, y=-5ℓ-6となるものはすべて5x+7y=3を満たします.
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[注]
ありがちな勘違いとしては, 5x+7y=1の一般解を3倍したx=3(7ℓ+3), y=-3(5ℓ+2)が5x+7y=3の一般解を表す, とするものです.
これはx=7(3ℓ)+9, y=-5(3ℓ)-6なので確かに解を表しますが, 解全体を表すものではありません.
[注]
ユークリッドの互除法からだと7=5*1+2, 5=2*2+1なので
5-2*2=1⇔5-(7-5*1)*2=1⇔5*3-7*2=1⇔5*3+7*(-2)=1
として解を見つけることが出来ます.