Question

すず

解き方教えてください🙇‍♀️

答えは 初項1,公比3または初項9,公比1/3 です。

が 3, 初項から第 3 項までの和が 13 である等比数列の初項と公比

等差数列と等比数列

Answer 1

✨ Best Answer ✨

としさん

初項を a , 公比をr　とすると

初項 a
第2項 a*r

なので
第2項=3より　ar = 3　①
初項～第3項の和=13　より 等比数列の和の公式を使って
　a(1-r³)/(1-r) = 13　( r≠1 ) ②

r=1のとき 初項～3項まで 全てa となるので a+a+a = 3a = 13 より a=13/3
　　①に代入して 13/3 * 1 = 13/3 ≠ 3 なので 不適。

①より a = 3/r
②に代入
　3/r * (1-r³)/(1-r) = 13　# 両辺に r(1-r)を掛けて
　3(1-r³) = 13r(1-r)
　3(1-r)(1+r+r²) - 13r(1-r) = 0
　(1-r){3(1+r+r²) - 13r} = 0
　(1-r)(3r²-10r+3) = 0
　(1-r)(3r-1)(r-3) = 0
　∴ r=3,1/3 (r≠1なので r=1は除外)

r=3のとき a = 3/3 = 1
r=1/3のとき a = 3/(1/3) = 9

∴ (初項、公比) = (3,1),(9,1/3) の2通り

ちなみに、第3項までの和を a + ar + ar² = 13 として計算してもOKです。
a(1+r+r²) = 13
3/r * (1+r+r²) = 13
3(1+r+r²) = 13r　となり 同じ結果となります。

　

すず

分かりました！ありがとうございます😊