Question

ユウキ

n=1の時、a,bにも1を代入しているのは何故ですか？
a,bに1を代入できる理由を教えてほしいです。

また、何故n=kの時a,bをp,qに置き換えているのでしょうか？
その理由も回答よろしくお願いしますm(_ _)m

アド

255 7,は自然数とする。

 

 

 

 

自然数 。, を

 

 

 

 

 

 

 

Hいて。 1十 72 )"ニ。2和572 と表される

ことを, 数学的帰納法によって証明せよ。

255 証明すべき事柄を(A) とする。
[] ぁ三1のとき
時2)!=1+1.2
よって。み=ニ1 のとき, (4) が成りマっ。

2 ヵー をのとき (A) が成り立つと仮定する。
すなわち, ある自然数 ヵ 2を用い

1+y2)*=ニヵ+ 9272 …①
と表されると仮定する。

① の両辺に 1+/2 を掛けると

(①+ソ2)41ニ(の+gV2 1+ 2)
ー(の十2の二(ヵのV2
のヵ十22 2の7は自然数であるから, ヵ=ニ1
のときも (4) が成り立つ。
[2| から, すべての自然数 z について (A) が
成約NZ つる。

数学的帰納法

Answer 1

✨ Best Answer ✨

LUX SIT

これは代入しているのではありません. 数学的帰納法の利用がはっきり分かりやすく書くと
＊＊＊
ｎを自然数として, 自然数a[n], b[n]を用いて, (1+√2)^n=a[n]+b[n]√2と表せることを示したい.
n=1のとき, (1+√2)^1=1+√2なのでa[1]=1, b[1]=1を選べば条件を満たせる.
ある自然数kをとる. n=kのとき, (1+√2)^k=a[k]+b[k]√2が成り立って, a[k], b[k]が自然数であると仮定する.
両辺に(1+√2)を掛けると(1+√2)^(k+1)=(a[k]+2b[k])+(a[k]+b[k])√2となる.
a[k], b[k]は自然数だから, a[k]+2b[k], a[k]+b[k]も自然数である.
したがってn=k+1のとき, a[k+1]=a[k]+2b[k], b[k+1]=a[k]+b[k]も自然数で条件を満たす.
よって数学的帰納法から命題は示された.

LUX SIT

[訂正]
数学的帰納法の利用がはっきり分かる形で書くと

LUX SIT

[補遺]
なぜn=kの時a,bをp,qに置き換えているのでしょうか？
***
これは上の回答を読めば分かると思いますが, a, bは冪のnによって異なる値になります.
[ようするにa, bは適当な自然数. だからn=1のときa[1]=1, b[1]=1を選ぶと書いたわけです]
そういうわけでn=1のときのa, bと区別するために解答ではp, qとしています.
私の回答はそれを分かりやすくするために, あえてa[n], b[n]と書き直しました.

ユウキ

ありがとうございます😊
なんとなく、数式に込められた意図にほんの少しの感動しました。