Question

ななか🦋

3次方程式 を含めやり方が分かりません。

きすつの相異なる解を壮

る.  このとき. 2

In

ち. それらは概|

ダ+sas2 上ュー0

麻数平面上で一辺の長きが V3cの

6と の3つの解を求めょ

 

3⑮⑲
角形の頂点と なってい

の

Answer 1

✨ Best Answer ✨

LUX SIT

どちらかというと代数的な要素が強い定番です. 共役性が図形の形状に大きな制約を与えていることがポイントでしょう.
受験本番では絶対に完答したい問題です.
***
実係数の3次方程式なので, すべての解は実数解3個, あるいは実数解1個と共役な虚数解2個のいずれかである.
3解が複素平面上で1辺√3aの正三角形を成すので後者の場合に限られる[前者は直線になるので矛盾].
そこで解を実数α,　β, γを用いてα, β±γiとすると, 辺の長さの条件から2γ=√3a, |αーβ|=3a/2⇔γ=√3a/2, β=α±(3a/2)を得る.
ここでβ=α-(3a/2)と表されるとき, 解と係数の関係からα+(β+γi)+(β-γi)=-3a⇔α=0となるが, 方程式の定数項が1なので不適.
したがってβ=α+(3a/2)に限られて, やはり解と係数の関係より
α+(β+γi)+(β-γi)=-3a⇔α=-2a. これからβ=-a/2である.
α(β+γi)(β-γi)=-1⇔(-2a){(-a/2)^2+(√3a/2)^2}=-1⇔a=1/3^√2.
これからα=-3^√4, β=-1/{2*(3^√2)}, γ=√3/{2*(3^√2)}
α(β+γi)+α(β-γi)+(β+γi)(β-γi)=b⇔b=2αβ+(β^2+γ^2)=3/3^√4
とそれぞれ求まる.
以上の結果をまとめて
a=1/3^√2, b=3/3^√4
方程式の3解は, -3^√4, {-1/(2*3^√2)}(1±√3i)である.

ななか🦋

細かく書いてくだだってありがとうございます！
無事理解出来ました！