✨ Best Answer ✨
f(x)=x²-2ax+a を平方完成すると f(x) = (x-a)²+a-a²
f(x) は 下に凸で 極値 (a,a-a²) だが、0≦x≦1 の範囲が指定されているので、aの値により最大/最小値が変わる。
※ a＜0,0≦a≦1/2,1/2＜a≦1,a＞1 の4通りで調べる。
(i) a＜0 のとき
軸が 範囲より左なので 0≦x≦1 では右上がり。
最小値 x=0のとき f(0)=a
最大値 x=1のとき f(1)=1-2a+a=1-a
最大値 - 最小値 = (1-a) - a = 1-2a
a＜0 より 1-2a＞1 ①
(ii) 0≦a≦1/2 のとき
軸が範囲内なので、極値が最小。最大値は 軸より遠い方。
最小値 x=aのとき f(a)=a-a²
最大値 x=1のとき f(1)=1-a
最大値 - 最小値 = (1-a) - (a-a²) = a²-2a+1 = (a-1)²
0≦a≦1/2 より 1/4≦(a-1)²≦1 ②
(iii) 1/2＜a≦1 のとき
軸が範囲内なので、極値が最小。最大値は 軸より遠い方。
最小値 x=aのとき f(a)=a-a²
最大値 x=0のとき f(0)=a
最大値 - 最小値 = a - (a-a²) = a²
1/2＜a≦1 より 1/4＜a²≦1 ③
(iv) a＞1 のとき
軸が 範囲より右なので 0≦x≦1 では右下がり。
最小値 x=1のとき f(1)=1-a
最大値 x=0のとき f(0)=a
最大値 - 最小値 = a - (1-a) = 2a-1
a＞1 より 2a-1＞1 ④
①から④より 最大値 - 最小値が 最も小さくなるのは ②の1/4のとき
∴ a=1/2
問題見ただけで、最小となるのは 多分特徴のある点 ( 極値 )が真ん中にあるときかな？と予想できるんですが
いざ証明しようとすると、めんどくさい計算しないとダメですね。
なるほどです！
中間テストの範囲なので
頑張ります٩(🔥⌑ 🔥)ง
丁寧にありがとうございます！
とても長いですね💦
助かります(୨୧•͈ᴗ•͈)