1章 平面上の曲線
1節 2次曲線
7
6
例 1
放物線 y°=x は
1
回2次曲線
y=4·
デー
1
x
11
放物線
と表すことができるから,
1o
4
1
4
2次関数 y= ax'+bx+c のグラフが放物線を表すことは数学Iで
も点は(0 半線は x=
4
んだ。一般に,放物線は次のように定義される。
平面上で,“定点Fからの距離と,Fを通らない定直線/からの距離が
等しい点Pの軌跡”を放物線といい,点Fを焦点,直線lを準線という。
である。
5
問1 次の放物線の焦点と準線を求め,その概形をかけ。
(1) y? = 4x
(2) y° = -6x
(3) 2y = x
放物線の方程式
例2 焦点が(2, 0), 準線が x=-2 である放物線の方程式は
焦点Fを(2,0), 準線しをx=ーbとす
る放物線の方程式を求めてみよう。
y? =4.2x
すなわち
y= 8x
Q丘
P(x, y)
5
問2 焦点が(,0), 準線が x=ー
である放物線の方程式を求めよ。
2
10
放物線上の点P(x, y)から1に下ろした
10
垂線を PQとすると, PF= PQ より
(xーが+y =|x-(ーか)
b0
F(b,0)
x
y軸上に焦点をもつ放物線
両辺を2乗して
前ページの放物線の方程式①におい
(xーが+y = (x+か
これを整理すると
て,xとyを入れかえて得られる方程式
x°= 4py
P(x,y)
y= 4px
0を放物線の方程式の標準形 という。
の
15
F(0,p)
が表す図形は,右の図のような放物線で
15
一般に,放物線において,焦点を通り準線に垂直な直線を放物線の 細
といい,軸と放物線との交点を放物線の 頂点という。
ある。
0
Q
この放物線の焦点は (0, か), 準線は
放物線は,軸に関して対称である。
y
こか,頂点は原点,軸はy軸である。
放物線の性質
次の放物線の焦点と準線を求めよ。
(2) x° = - 12y
問3
20
放物線 y° = 4px について
(3) y=x°
20
(1) x° = 8y
焦点は(b、0)
問4 次の放物線の方程式を求めよ。
頂点は原点(0, 0)
準線は x=-p
3
(2) 頂点(0, 0), 準線 y=
8
軸はx軸(y= 0)
(1) 焦点(0, 4), 準線 y=-4
