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→6Sは21人ト。1+r+r+s+rs=r's より,
考え方 p,qは素数より,pqの正の約数の和は, (1+p)(1+q)=D1+p+q+pq (b.418 参照)で
整数の性質
436 第8章
nを除く nの正の約数の和 (完全数)
Co
例 題 244
とき,次の間いに答えよ。
(1) S(pq)=Dpq を満たす素数p, q (か<q) を求めよ。
(2) S(r's)=r's を満たす素数r, s(r<s) を求めよ。
あるが、S(bg)は 加を除いた約数の和であるから, S(pq)=1+p+q となる
(1) か, qは素数より,pq以外の paの正の約数の和は,
(1+p)(1+q)-pq=1+p+q
したがって, S(pg)=D pq のとき,1+p+q=pq より,
pg-p-q=1
(カ-1)(q-1)=2
ここで,p, qは素数で, 2<p<qであるから,
p-1, q-1も整数で,
したがって,①を満たすのは,
よって,
解答
p.418 参照
この式変形は p.470
P<4だかけ
参照
1Sp-1<q-1
P-1-1
4--2
p-1=1, q-1=2
このとき,q==6
p=2, q=3
(メ2ニ2)(2) r, sは素数より, r's以外のr'sの正の約数の和は,
したがって,S(r's)=r's のとき,
sについて整理
p+x+1=(rパーァー1)s …
ここで,r, sは素数で, 2<r<s であるから,
また,r22 より,ァ-121 であるから,
-r-1=r(rー1)-122×1-1=1>0
したがって,①より,
これを整理すると,
この不等式を解いて
rは素数であるから,
のにア=2 を代入して,
S23
連と。
(20倍2
やトちっわゃ切とき。
+r+123(ーrー1)
ye-2r-2<0
1-/3Srs1+/3
ア=2 きなな さをえの|1-V3=-0.732……
S=7
Sれをやることで
/3 =1.732……より,
ニー
これは r<s を満たす。
よって,
てな処ら。11+/3=D2.732…
条 なe
r=2, s=7
豪数つ毎令との290
。このとき, 's=28
カうーム
まう。
注》2以上の自然数nに対して、 nを除くnの正の約数の和 S(n)が、nに等しい自然数n
を完全数という(例題で求めた6や28は完全数である).
また, S(n) について, S(n)=n が成り立つとき, この両辺にnを加えると,
S(n)+n=2n となる.この S(n)+nは自然数nの正の約数の総和であるから, 「2以
上の自然数nについて, nの正の約数の総和をT(n)とすると,T(n)=2n が成り立つ
とき、nは完全数」 としてもよい.
mm
wM
ww
w
M
w w m
LTどはししかない
M
w
練習 2以上の自然数nについて, nの正の約数の和をT(n)とする.
244 n=2"-1(2"-1) (mは2以上の自然数)として, 2"-1 が素数であるとき,
T(n)=2n が成り立つことを、1+2+ +2"m11_2m,
-1であることを用いて
