証明せよ。 0 o fodo
(1) a2 6, xNyのとき 2(ax + by)2 (a+b)(x+y)
6+d
d
b
d
を満たすとき
正の数 a, 6, c, dが
b
a+c
C
a
a
C
目標の言い換え
不等式 A2B を証明 → A-B20 を示す
A-B=…= (
条件式から各( )
の正負を考える。
0=()
A-B=.. =
(2)式を分ける
はおC >
Action》条件つきの不等式の証明は,(左辺)- (右辺)の各因数の符号を調べ。
の
A<B<Cを証明するために、「A<Bかつ B< C」を証明する。
(左辺)-(右辺)を因数分
解する。
解(1)(左辺)- (右辺) %3D 2(ax +by)- (a+b)(x+y)
ax + by-ay-bx
(説) =a(x→y)-6(x=y) 」さうさく
)は1= キ %3 (a-6)(x-)
ミっここで,aこ6より a-bN0, x>y より x-y>0
条件より各因数の符号右
調べる。
であるからE
0… 0-1-
(左辺)-(右辺) = (α-b)(x-y)20rd-o-d
004等号が成り立つのは
a-b=0 または x-y=
すなわち, a=b また
x=y のときである。
A<B<C を証明する
をしたがって
T 6+d
2(ax+ by) 2 (a+6)(x+y)
a(6+d)-6(a+c)
(a+c)a
ad-bc
ode
a+c
(a+c)a の
a
d(a+c)-c(b+d)
c(a+c)
ここで、a>0, c>0 であり
d
6+d
ad- bc
atc
c(a+c)
C
めに
a+c>0
A<B かつ B<C
d
く
C
アを証明する。
(A<C を証明すると
はない。)
6
また,
の両辺に正の数 acを掛けると 6bc< ad
a
よって
ad - bc>0
ゆえに,
ad - bc
ad- bc
(a+c)a
c(a+c)
>0 であるから
6+d
b
atc
d
b+d
>0
a+c
a
C
したがって
b
b+d
d
a+c
a
C
練習64
エ
思考のプロセス|
